กำหนดให้ $a$ เป็นจำนวนเต็มบวก  ถ้า ห.ร.ม. ของ $a$ และ $3780$ เท่ากับ $90$  และ ค.ร.น. ของ $a$ กับ $630$ เท่ากับ $6930$  แล้ว $a$ อยู่ในช่วงในข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]แยกตัวประกอบของจำนวนเต็มแต่ละตัว[/STEP]

\begin{eqnarray*}
3780 & = & 2^{2}\cdot3^{3}\cdot5\cdot7\\
90 & = & 2\cdot3^{2}\cdot5\\
630 & = & 2\cdot3^{2}\cdot5\cdot7\\
6930 & = & 2\cdot3^{2}\cdot5\cdot7\cdot11
\end{eqnarray*}

[STEP]จาก ห.ร.ม. ของ $a$ กับ $3780$ หาตัวประกอบของ $a$ เท่าที่ทราบ[/STEP]

จาก ห.ร.ม. ของ $a$ กับ $2^{2}\cdot3^{3}\cdot5\cdot7$ เท่ากับ $2\cdot3^{2}\cdot5$ แสดงว่า $2\cdot3^{2}\cdot5$ เป็นตัวประกอบของ $a$ ดังนั้น

$$a=2\cdot3^{2}\cdot5\cdot k$$

โดยที่ $k$ เป็นจำนวนเต็มซึ่งไม่มี $2,3$ และ $7$ เป็นตัวประกอบ เพราะว่ามิเช่นนั้น ห.ร.ม.ของ $a$ กับ $2^{2}\cdot3^{3}\cdot5\cdot7$ จะมีค่ามากกว่า $2\cdot3^{2}\cdot5$

[STEP]พิจารณาหาค่า $a$ จาก ค.ร.น. ของ $a$ กับ $630$ และข้อมูลในขั้นตอนที่แล้ว[/STEP]

จาก ค.ร.น. ของ $a$ กับ $2\cdot3^{2}\cdot5\cdot7$ เท่ากับ $2\cdot3^{2}\cdot5\cdot7\cdot11$ แสดงว่า $a$ หาร $2\cdot3^{2}\cdot5\cdot7\cdot11$ ลงตัว  นั่นคือ

$$am = 2\cdot3^{2}\cdot5\cdot7\cdot11$$

เมื่อ $m$ เป็นจำนวนเต็ม

แทนค่า $a=2\cdot3^{2}\cdot5\cdot k$ จากขั้นตอนที่แล้ว จะได้

\begin{eqnarray*}
\left(2\cdot3^{2}\cdot5\cdot k\right)m & = & 2\cdot3^{2}\cdot5\cdot7\cdot11\\
\cancel{2\cdot3^{2}\cdot5}\cdot km & = & \cancel{2\cdot3^{2}\cdot5}\cdot7\cdot11\\
km & = & 7\cdot11
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า $k$ อาจมี $7$ และ $11$ เป็นตัวประกอบ แต่ถ้าหาก $k$ มี $7$ เป็นตัวประกอบจะได้ว่า $a$ ก็จะมี $7$ เป็นตัวประกอบด้วย ซึ่งจะทำให้ ห.ร.ม. ของ $a$ กับ $3780$ จะต้องไม่ใช่แค่ $90$ แต่จะต้องเป็น $90\cdot 7$ ดังนั้น $k$ จึงต้องไม่มี $7$ เป็นตัวประกอบ

ในขณะที่ ถ้า $k$ ไม่มี $11$ เป็นตัวประกอบ จะทำให้ ค.ร.น. ของ $a$ กับ $630=2\cdot3^{2}\cdot5\cdot7$ ไม่มีทางเป็น $6930=2\cdot3^{2}\cdot5\cdot7\cdot11$ ซึ่งมี $11$ เป็นตัวประกอบด้วย  ดังนั้น $k$ จึงต้องมี $11$ เป็นตัวประกอบ  นั่นคือ $k=11$ และจะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
a & = & 2\cdot3^{2}\cdot5\cdot k\\
 & = & 2\cdot3^{2}\cdot5\cdot11\\
 & = & 3^{2}\cdot11\cdot\left(2\cdot5\right)\\
 & = & 9\cdot11\cdot\left(10\right)\\
 & = & 99\cdot\left(10\right)\\
 & = & 990
\end{eqnarray*}

[ANS]จะเห็นว่า $a=990$ และ $990\in [950,1100)$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย