ลำดับเรขาคณิต
ลำดับเรขาคณิตคือ ลำดับที่ $\displaystyle\frac{\text{พจน์ขวา} (a_{n+1})}{\text{พจน์ซ้าย} (a_n)}=r$ เป็นค่าคงตัวที่เท่ากันทุกคู่
นั่นคือ $\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}=r$ เสมอ
ถ้ากำหนดให้ $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, a_{n+1}, \ldots$ เป็นลำดับเรขาคณิตแล้ว
$\displaystyle\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}=\cdots=\frac{a_{n+1}}{a_n}=r $
ดังนั้นลำดับเรขาคณิต $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, a_{n+1}, \ldots$ จะเขียนได้อีกแบบเป็น
$a_1, a_1r, a_1r^2, \ldots, a_1r^{n-1}, a_1r^n, \ldots$
สูตรหาพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต คือ
$a_n=a_1r^{n-1}$
ตัวอย่างโจทย์ลำดับเรขาคณิต
หาสี่พจน์แรกของลําดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเป็นบวก และ $a_1 + a_2 = 8 , a_3 + a_4 = 72$
จากสูตร $a_n=a_1r^{n-1}$ เราทราบค่า $a_2=a_1r, a_3=a_1r^2$ และ $a_4=a_1r^3$
ดังนั้น
$$a_1+a_2=a_1+a_1r=8\quad\cdots(1)$$
$$a_3+a_4=a_1r^2+a_1r^3=72\quad\cdots(2)$$
จาก (1) จะได้$$a_1(1+r)=8\quad\cdots(3)$$
และจาก (2) จะได้$$a_1r^2(1+r)=72\quad\cdots(4)$$
เมื่อเรานำ (4) หารด้วย (3) จะได้
$$ \frac{a_1r^2(1+r)}{a_1(1+r)}=r^2=9$$
ดังนั้น $r=3, -3$ แต่โจทย์บอกว่า $r$ เป็นบวก เราจึงได้ว่า $r=3$
นำค่า $r=3$ ไปแทนกลับในสมการ (3) เพื่อหาค่า $a_1$ จะได้
$$a_1=\displaystyle\frac{8}{4}=2$$
เมื่อเรารู้ค่า $a_1=2$ และ $r=3$ เราจึงสามารถหาค่าของ
$a_1=2, a_2=2\times 3=6, a_3=2\times 3^2=18, a_4=2\times 3^3=54 $
อนุกรมเรขาคณิต
อนุกรมเรขาคณิตคือ อนุกรมที่เกิดจากการนำลำดับเรขาคณิตมาบวกกัน
ให้ $a_1, a_1r, a_1r^2, \ldots, a_1r^{n-1},\ldots$ เป็นลำดับเรขาคณิต
จะได้อนุกรมเรขาคณิตดังนี้
$$\begin{eqnarray*}
S_1&=& a_1\\
S_2&=& a_1+a_1r=a_1(1+r)\\
S_3&=& a_1+a_1r+a_1r^2=a_1(1+r+r^2)\\
&\vdots&\\
S_n&=&a_1+a_1r+a_1r^2+\ldots+a_1r^{n-1}=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}
\end{eqnarray*}$$
สูตรการหาผลรวม $n$ พจน์ของอนุกรมเรขาคณิต คือ
$$S_n=\displaystyle\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}\text{ เมื่อ } r\ne 1$$
ตัวอย่างโจทย์อนุกรมเรขาคณิต
อนุกรมเรขาคณิตมีค่า $a_3 = 80$ และ $S_3 = 65$ จงหาพจน์แรก และอัตราส่วนร่วม
จากสูตรของลำดับเรขาคณิต $a_n=a_1r^{n-1}$ และ สูตรของอนุกรมเรขาคณิต $S_n=\displaystyle\frac{a_1(1-r^3)}{1-r}$
ดังนั้นเราจะได้
$$80=a_3=a_1r^2\quad\cdots (5)$$
$$65=s_3=\displaystyle\frac{a_1(1-r^3)}{1-r}=a_1(1+r+r^2)\quad\cdots(6)$$
$$\frac{(1+r+r^2)}{r^2}=\frac{a_1(1+r+r^2)}{a_1r^2}=\frac{65}{80}=\frac{13}{16}$$
นั่นคือเราจะได้สมการ
$$3r^2+16r+16=(3r+4)(r+4)=0$$
ดังนั้น $r= -4$ หรือ $\displaystyle\frac{-4}{3}$
เมื่อนำค่า $r$ ไปแทนค่าใน (5)
เมื่อ $r=-4$ จะได้ $a_1=5$
เมื่อ $r=\displaystyle\frac{-4}{3}$ จะได้ $a_1=45$
อนุกรมอนันต์ในลักษณะของเรขาคณิต
ถ้าเราต้องการหาค่า $\displaystyle S_{\infty}=\lim_{n\rightarrow \infty}S_n=a_1+a_1r+a_1r^2+\ldots+a_1r^n+\ldots$ เมื่อ $|r|<1$ เราสามารถใช้สูตร
$$S_{\infty}=\lim_{n\rightarrow \infty}S_n=\frac{a_1}{1-r}$$
ดังนั้น $S_{\infty}=\displaystyle\frac{a_1}{1-r}$
ขอย้ำว่า $S_{\infty}=\displaystyle\frac{a_1}{1-r}$ เมื่อ $|r|<1$ เท่านั้นนะ
ตัวอย่างโจทย์อนุกรมเรขาคณิตอนันต์
จงหาค่าของอนุกรมเรขาคณิตต่อไปนี้ $\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{18}+\ldots+\frac{3}{2\times 3^n}+\ldots$
จากโจทย์เราได้ $a_1=\frac{1}{2}$ และจะได้ค่าของ $r=\frac{1}{6}\div\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$
นั่นคือ $|r|=\frac{1}{3}<1$ เราจึงใช้สูตร $S_{\infty}=\displaystyle\frac{a_1}{1-r}$ ได้นะครับ
เมื่อแทนค่าในสูตรเราจะได้
$$\begin{eqnarray*}
\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{18}+\ldots+\frac{3}{2\times 3^n}+\ldots
&=&\left(\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{3}}\right)=\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}=\frac{3}{4}
\end{eqnarray*}$$