หนึ่งในประโยชน์ที่สำคัญของอนุพันธ์คือการใช้หาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของปัญหาทั่วไป เช่น การหากำไรสูงที่สุด การทำให้ต้นทุนต่ำที่สุด การล้อมรั้วให้ได้พื้นที่มากที่สุด การสร้างกล่องให้มีปริมาตรมากที่สุด เป็นต้น เราประยุกต์โดยใช้แก้ปัญหาว่าค่า x เป็นเท่าใด จึงจะทำให้ y มีค่าสูงที่สุดหรือต่ำที่สุด
สำหรับวิธีการแก้ปัญหานี้ หากเป็นฟังก์ชันกำลังสอง เราสามารถใช้วิธีการอื่นที่เคยศึกษามาก่อน เช่น กำลังสองสมบูรณ์ หรือพาราโบลา ในการแก้ปัญหาได้ แต่หากไม่ใช่ฟังก์ชันกำลังสอง เราจะต้องใช้ความรู้เรื่องอนุพันธ์ในการแก้ปัญหา ซึ่งก่อนที่จะศึกษาเรื่องนี้ เราจำเป็นต้องมีความรู้พื้นฐานในเรื่องของฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลดเสียก่อน ดังนี้
ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด
f จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x1 และ x2 ใดๆ ใน A ถ้า x1<x2 แล้ว f(x1)<f(x2)
f จะเป็นฟังก์ชันลดบนช่วง A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x1 และ x2 ใดๆ ใน A ถ้า x1<x2 แล้ว f(x1)>f(x2)
เราอาจกล่าวง่ายๆ ได้ว่า ฟังก์ชันเพิ่มบนช่วงใดๆ คือฟังก์ชันที่เมื่อค่า x เพิ่มขึ้นบนช่วงนั้น ค่า y จะเพิ่มขึ้นตามด้วย ส่วนฟังก์ชันลดบนช่วงใดๆ คือฟังก์ชันที่เมื่อค่า x เพิ่มขึ้นบนช่วงนั้น ค่า y จะลดลงสวนทางกัน
พิจารณาฟังก์ชัน y=f(x) ดังกราฟต่อไปนี้
จะเห็นว่า ในบางช่วงกราฟเป็นฟังก์ชันเพิ่ม และในบางช่วงกราฟเป็นฟังก์ชันลด พิจารณาความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งของกราฟช่วงที่เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และช่วงที่เป็นฟังก์ชันลด ดังนี้
จะเห็นว่า กราฟที่เป็นฟังก์ชันเพิ่มนั้น ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ บนเส้นโค้งนี้มีค่าเป็นบวกเสมอ นั่นคือ f′(x)>0
ส่วนกราฟที่เป็นฟังก์ชันลด ความชันของเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ บนเส้นโค้งนี้มีค่าติดลบเสมอ นั่นคือ f′(x)<0
เราสามารถสรุปเป็นทฤษฎีบทในการตรวจสอบฟังก์ชันว่าเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลดในช่วงใดบ้าง ดังนี้
ทฤษฎีบท
ให้ f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทุกๆ จุด บนช่วง A⊂Df
1. ถ้า f′(x)>0 สำหรับทุกค่า x บนช่วง A แล้ว f จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง A
2. ถ้า f′(x)<0 สำหรับทุกค่า x บนช่วง A แล้ว f จะเป็นฟังก์ชันลดบนช่วง A
ตัวอย่างการตรวจสอบฟังก์ชันว่าเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลดบนช่วงใดบ้าง
ตัวอย่างที่ 1
กำหนดฟังก์ชัน f(x)=2x3−3x2−12x+4 จงตรวจสอบว่า f เป็นฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลดบนช่วงใด
จาก f(x)=2x3−3x2−12x+4 จะได้
f′(x)=6x2−6x−12
ตรวจสอบช่วงที่เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ให้ f′(x)>0 จะได้
6x2−6x−12>0x2−x−2>0(x+1)(x−2)>0
จะได้ว่า f′(x)>0 บนช่วง (−∞,−1) และ (2,∞)
และ f′(x)<0 บนช่วง (−1,2)
f เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง (−∞,−1) และ (2,∞) และเป็นฟังก์ชันลดบนช่วง (−1,2)
ตัวอย่างที่ 2
กำหนดฟังก์ชัน f(x)=x4−8x2+12 จงตรวจสอบว่า f เป็นฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลดบนช่วงใด
จาก f(x)=x4−8x2+12 จะได้
f′(x)=4x3−16x
ตรวจสอบช่วงที่เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ให้ f′(x)>0 จะได้
4x3−16x>0x3−4x>0x(x2−4)>0x(x−2)(x+2)>0
จะได้ว่า f′(x)>0 บนช่วง (−2,0) และ (2,∞)
และ f′(x)<0 บนช่วง (−∞,−2) และ (0,2)
f เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง (−2,0) และ (2,∞) และเป็นฟังก์ชันลดบนช่วง (−∞,−2) และ (0,2)
จะเห็นว่า ช่วงที่กราฟเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลดนั้น จะเป็นช่วงเปิด เนื่องจากที่จุดปลายของช่วงนั้น เป็นจุดที่กราฟกำลังเปลี่ยนจากฟังก์ชันเพิ่มกลายเป็นฟังก์ชันลด หรือเปลี่ยนจากฟังก์ชันลดกลายเป็นฟังก์ชันเพิ่ม จึงไม่สามารถบอกได้ว่า ณ จุดนั้น กราฟเป็นฟังก์ชันแบบใด เราเรียกจุดเหล่านั้นว่า จุดวกกลับ ซึ่งจะกล่าวถึงรายละเอียดในหัวข้อถัดไป