ข้อนี้หลายๆ คนจะมองว่า $1210 = 11^2 \times 10$ แล้วตัดกับ $11^{111}$ ดังนี้

$$\begin{eqnarray*} \frac{11^{111}}{1210} &=& \frac{11^{111}}{11^2 \times 10}\\ &=& \frac{11^{\cancelto{109}{111}}}{\cancel{11^2} \times 10}\\ &=& \frac{11^{109}}{10} \end{eqnarray*}$$

แล้วมองว่า $11$ ยกกำลังอะไรก็ลงท้ายด้วย $1$ เสมอ พอเอา $10$ ไปหาร เศษที่เหลือจากการหารด้วย $10$ ก็คือหลักหน่วย จึงไปตอบว่าเศษเหลือ $1$ ซึ่งผิด

สังเกตง่ายๆ เช่น $100$ หารด้วย $15$ จะได้ $$100 = 15(6) + 10$$

นั่นคือเศษเหลือ $10$

แต่ถ้าเราตัดด้วย $5$

$$\begin{eqnarray*} \frac{100}{15} &=& \frac{\cancelto{20}{100}}{\cancelto{3}{15}}\\ &=& \frac{20}{3} \end{eqnarray*}$$

จะได้ว่า $20$ หารด้วย $3$ เหลือเศษ $2$ แต่เศษที่ได้เป็นเศษ "ปลอม" นะครับ

เศษที่แท้จริงคือต้องเอาเศษปลอมไปคูณกับตัวที่ตัดด้วย นั่นคือเศษจริงๆ เท่ากับ $2 \times 5 = 10$

เช่นเดียวกับกรณีของโจทย์ข้อนี้ ถ้าเราเอา $11^2$ ตัดไปแล้ว ได้เศษปลอมมาเหลือ $1$

เศษจริงๆ ต้องเอา $11^2$ กลับไปคูณกับเศษปลอมด้วย จะได้ $11^2 \times 1 = 121$ นั่นเองครับ