,

บัตรแต่ละใบแบ่งออกเป็น $4$ เลข เลขละ $2$ ใบ เพราะฉะนั้นถ้าให้ $A,B,C,D$ เป็นเลขโดดสี่หลักที่ต่างกัน

จะแบ่งกรณีได้เป็นดังนี้

$\quad1.$ $AABB$ (เลขซ้ำทั้ง $2$ คู่)

$\quad 2.$ $AABC$ (เลขซ้ำ $1$ คู่ และเลขไม่ซ้ำอีก $2$ ตัว)

$\quad 3.$ $ABCD$ (เลขไม่ซ้ำทั้ง $4$ ตัว)

พิจารณา

กรณีที่ $1$ เลขซ้ำทั้ง $2$ คู่

เลือกเลขออกมา $2$ ตัวจาก $4$ ตัว จะได้ว่า $\binom{4}{2}$

จากนั้นสลับที่แนวเส้นตรงแบบมีของซ้ำ $2$ คู่ จะได้เป็น $\frac {4!}{2!2!}$

ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมด $(N_1)$ เท่ากับ

$$\begin{eqnarray*} N_1 &=& \binom{4}{2} \cdot \frac {4!}{2!2!}\\ &=& \frac {4!}{2!2!} \cdot \frac {24}{4}\\ &=& 6 \cdot 6\\ &=& 36 \end{eqnarray*}$$

กรณีที่ $2$ เลขซ้ำ $1$ คู่ และเลขไม่ซ้ำอีก $2$ ตัว

เลือกเลขที่จะใช้ซ้ำออกมา $1$ ตัวจาก $4$ ตัว จะได้ว่า $\binom{4}{1}$

เลือกเลขที่จะใช้ไม่ซ้ำออกมา $2$ ตัวจาก $3$ ตัวที่เหลือ จะได้ว่า $\binom{3}{2}$

จากนั้นสลับที่แนวเส้นตรงแบบมีของซ้ำ $1$ คู่ จะได้เป็น $\frac {4!}{2!}$

ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมด $(N_2)$ เท่ากับ

$$\begin{eqnarray*} N_2 &=& \binom{4}{1} \cdot \binom{3}{2} \cdot \frac {4!}{2!}\\ &=& 4 \cdot \frac {3!}{2!} \cdot \frac {24}{2}\\ &=& 4 \cdot 3 \cdot 12\\ &=& 144 \end{eqnarray*}$$

กรณีที่ $3$ เลขไม่ซ้ำทั้ง $4$ ตัว

เลือกเลขออกมา $4$ ตัวจาก $4$ ตัว จะได้ว่า $\binom{4}{4}$

จากนั้นสลับที่แนวเส้นตรงแบบไม่มีของซ้ำ จะได้เป็น $4!$

ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมด $(N_3)$ เท่ากับ

$$\begin{eqnarray*} N_3 &=& \binom{4}{4} \cdot 4!\\ &=& 1 \cdot 24\\ &=& 24 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้นจำนวนทั้งหมดเท่ากับ $N_1 + N_2 + N_3 = 36 + 144 + 24 = 204$ จำนวน