ค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์
ก่อนอื่น เรามาทำความเข้าใจข้อแตกต่างระหว่างสัมพัทธ์กับสัมบูรณ์ พิจารณากราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ข้างบน จุด C เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ ส่วนจุด B และจุด D เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ ค่าสูงสุด/ต่ำสุดสัมพัทธ์จะมีกี่ค่าก็ได้ แต่ค่าสูงสุด/ต่ำสุดสัมบูรณ์ ในช่วงใดช่วงหนึ่งจะมีได้เพียงอย่างละ 1 ค่า หรืออาจไม่มีเลย เมื่อพิจารณาในช่วง x=a ถึง x=b แล้ว
- จุด D จะเป็นจุดต่ำสุดสัมบูรณ์เนื่องจากเป็นจุดที่มีค่าต่ำที่สุดในช่วงดังกล่าว
- จุด E จะเป็นจุดสูงสุดสัมบูรณ์เนื่องจากเป็นจุดที่มีค่าสูงที่สุดในช่วงดังกล่าว
สำหรับเนื้อหาในระดับ ม.ปลาย จะกล่าวถึงจุดสูงสุด/ต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน ในช่วงปิด [a,b] ใดๆ เท่านั้น เนื่องจากกราฟของฟังก์ชันไม่มีที่สิ้นสุด หากไม่มีการกำหนดช่วงปิดมาเป็นขอบเขต เราไม่สามารถหาได้ว่าจุดใดจะเป็นจุดที่อยู่สูงหรือต่ำที่สุดนั่นเอง
ขั้นตอนการหาจุดสูงสุดสัมบูรณ์และจุดต่ำสุดสัมบูรณ์บนช่วงปิด [a,b] ใดๆ ของฟังก์ชัน y=f(x)
- หาค่าวิกฤต c ตามวิธีการในหัวข้อที่แล้ว
- นำค่าวิกฤตมาแทนค่าในฟังก์ชันเพื่อหา f(c)
- หาค่าของ f(a) และ f(b)
- เปรียบเทียบค่าที่ได้จากในข้อที่ 1 และ 2 เพื่อดูว่า
ค่าใดมีค่ามากที่สุด ค่านั้นคือค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน f
ค่าใดมีค่าน้อยที่สุด ค่านั้นคือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน f - หากต้องการจุดสูงสุดสัมบูรณ์และจุดต่ำสุดสัมบูรณ์ให้ตอบในรูปคู่อันดับ
ตัวอย่างการหาจุดสูงสุดสัมบูรณ์และจุดต่ำสุดสัมบูรณ์
ตัวอย่างที่ 1
จงหาจุดสูงสุดสัมบูรณ์และจุดต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน f(x)=x3−3x+2 บนช่วงปิด [0,2]
จาก f(x)=x3−3x+2
จะได้ f′(x)=3x2−3
หาค่าวิกฤต กำหนด f′(c)=0
3c2−3=0c2−1=0(c−1)(c+1)=0c=−1,1
เนื่องจาก −1 ไม่อยู่ในช่วง [0,2] ค่าวิกฤตจึงมีเพียงค่าเดียวคือ c=1
จะได้
f(1)=13−3(1)+2=0
f(0)=03−3(0)+2=2
f(2)=23−3(2)+2=4
จะเห็นว่า f(2)=4 มีค่ามากที่สุด ดังนั้น ค่าสูงสุดสัมบูรณ์จึงมีค่าเท่ากับ 4
และ f(1)=0 มีค่าน้อยที่สุด ดังนั้น ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์จึงมีค่าเท่ากับ 0
จุดสูงสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชันในช่วง [0,2] คือ (2,4)
จุดต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชันในช่วง [0,2] คือ (1,0)
ตัวอย่างที่ 2
จงหาจุดสูงสุดสัมบูรณ์และจุดต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน f(x)=x3−2x2−4x+8 บนช่วงปิด [−2,3]
จาก f(x)=x3−2x2−4x+8
จะได้ f′(x)=3x2−4x−4
หาค่าวิกฤต กำหนด f′(c)=0
3c2−4c−4=0(3c+2)(c−2)=0c=−23,2
ค่าวิกฤตมี 2 ค่า คือ −23 และ 2
จะได้
f(−23)=(−23)3−2(−23)2−4(−23)+8=25627
f(2)=23−2(2)2−4(2)+8=0
f(−2)=(−2)3−2(−2)2−4(−2)+8=0
f(3)=33−2(3)2−4(3)+8=5
จะเห็นว่า f(−23)=25627 มีค่ามากที่สุด ดังนั้น ค่าสูงสุดสัมบูรณ์จึงมีค่าเท่ากับ 25627
ส่วน f(2)=f(−2)=0 มีค่าน้อยที่สุด ดังนั้น ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์จึงมีค่าเท่ากับ 0
เนื่องจากทั้ง f(2) และ f(−2) เป็นค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ทั้งคู่ ทำให้มีจุดต่ำสุดสัมบูรณ์ 2 จุด
จุดสูงสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชันในช่วง [−2,3] คือ (−23,25627)
จุดต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชันในช่วง [−2,3] คือ (2,0) และ (−2,0)