ค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์, จุดสูงสุดสัมบูรณ์และจุดต่ำสุดสัมบูรณ์
(absolute max min)

ค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์

 

 

ก่อนอื่น เรามาทำความเข้าใจข้อแตกต่างระหว่างสัมพัทธ์กับสัมบูรณ์ พิจารณากราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ข้างบน จุด C เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ ส่วนจุด B และจุด D เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ ค่าสูงสุด/ต่ำสุดสัมพัทธ์จะมีกี่ค่าก็ได้ แต่ค่าสูงสุด/ต่ำสุดสัมบูรณ์ ในช่วงใดช่วงหนึ่งจะมีได้เพียงอย่างละ 1 ค่า หรืออาจไม่มีเลย เมื่อพิจารณาในช่วง x=a ถึง x=b แล้ว

  • จุด D จะเป็นจุดต่ำสุดสัมบูรณ์เนื่องจากเป็นจุดที่มีค่าต่ำที่สุดในช่วงดังกล่าว
  • จุด E จะเป็นจุดสูงสุดสัมบูรณ์เนื่องจากเป็นจุดที่มีค่าสูงที่สุดในช่วงดังกล่าว

สำหรับเนื้อหาในระดับ ม.ปลาย จะกล่าวถึงจุดสูงสุด/ต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน ในช่วงปิด [a,b] ใดๆ เท่านั้น เนื่องจากกราฟของฟังก์ชันไม่มีที่สิ้นสุด หากไม่มีการกำหนดช่วงปิดมาเป็นขอบเขต เราไม่สามารถหาได้ว่าจุดใดจะเป็นจุดที่อยู่สูงหรือต่ำที่สุดนั่นเอง

 

ขั้นตอนการหาจุดสูงสุดสัมบูรณ์และจุดต่ำสุดสัมบูรณ์บนช่วงปิด [a,b] ใดๆ ของฟังก์ชัน y=f(x)

  1. หาค่าวิกฤต c ตามวิธีการในหัวข้อที่แล้ว
  2. นำค่าวิกฤตมาแทนค่าในฟังก์ชันเพื่อหา f(c)
  3. หาค่าของ f(a) และ f(b)
  4. เปรียบเทียบค่าที่ได้จากในข้อที่ 1 และ 2 เพื่อดูว่า
    ค่าใดมีค่ามากที่สุด ค่านั้นคือค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน f
    ค่าใดมีค่าน้อยที่สุด ค่านั้นคือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน f
  5. หากต้องการจุดสูงสุดสัมบูรณ์และจุดต่ำสุดสัมบูรณ์ให้ตอบในรูปคู่อันดับ

 

ตัวอย่างการหาจุดสูงสุดสัมบูรณ์และจุดต่ำสุดสัมบูรณ์

ตัวอย่างที่ 1

จงหาจุดสูงสุดสัมบูรณ์และจุดต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน f(x)=x33x+2 บนช่วงปิด [0,2]

จาก f(x)=x33x+2

จะได้ f(x)=3x23

หาค่าวิกฤต กำหนด f(c)=0

3c23=0c21=0(c1)(c+1)=0c=1,1

เนื่องจาก 1 ไม่อยู่ในช่วง [0,2] ค่าวิกฤตจึงมีเพียงค่าเดียวคือ c=1

จะได้

f(1)=133(1)+2=0
f(0)=033(0)+2=2
f(2)=233(2)+2=4

จะเห็นว่า f(2)=4 มีค่ามากที่สุด ดังนั้น ค่าสูงสุดสัมบูรณ์จึงมีค่าเท่ากับ 4

และ f(1)=0 มีค่าน้อยที่สุด ดังนั้น ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์จึงมีค่าเท่ากับ 0

จุดสูงสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชันในช่วง [0,2] คือ (2,4)
จุดต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชันในช่วง [0,2] คือ (1,0)


 

ตัวอย่างที่ 2

 จงหาจุดสูงสุดสัมบูรณ์และจุดต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน f(x)=x32x24x+8 บนช่วงปิด [2,3]

จาก f(x)=x32x24x+8

จะได้ f(x)=3x24x4

หาค่าวิกฤต กำหนด f(c)=0

3c24c4=0(3c+2)(c2)=0c=23,2

ค่าวิกฤตมี 2 ค่า คือ 23 และ 2

จะได้

f(23)=(23)32(23)24(23)+8=25627
f(2)=232(2)24(2)+8=0
f(2)=(2)32(2)24(2)+8=0
f(3)=332(3)24(3)+8=5

จะเห็นว่า f(23)=25627 มีค่ามากที่สุด ดังนั้น ค่าสูงสุดสัมบูรณ์จึงมีค่าเท่ากับ 25627

ส่วน f(2)=f(2)=0 มีค่าน้อยที่สุด ดังนั้น ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์จึงมีค่าเท่ากับ 0

เนื่องจากทั้ง f(2) และ f(2) เป็นค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ทั้งคู่ ทำให้มีจุดต่ำสุดสัมบูรณ์ 2 จุด

จุดสูงสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชันในช่วง [2,3] คือ (23,25627)
จุดต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชันในช่วง [2,3] คือ (2,0) และ (2,0)

 

คำคล้าย : ค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์, จุดสูงสุดสัมบูรณ์และจุดต่ำสุดสัมบูรณ์
Under Growing
"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า
คอร์สแนะนำ
หนังสือแนะนำ
รายละเอียดการใช้งานคุกกี้

เพื่อประโยชน์และประสบการณ์ที่ดีในการใช้งานเว็บไซต์ของ บริษัท โอเพ่นดูเรียน จํากัด (“โอเพ่นดูเรียน”) โอเพ่นดูเรียนจึงใช้คุกกี้บนเว็บไซต์ของบริษัท ทั้งนี้ คุณสามารถศึกษาเพิ่มเติม เกี่ยวกับนโยบายคุกกี้ของโอเพ่นดูเรียนได้ที่ นโยบายคุกกี้ และคุณสามารถปฏิเสธคุกกี้ได้