นิยามปริพันธ์และปริพันธ์ไม่จำกัดเขต
(antiderivative and indefinite integral)

ปฏิยานุพันธ์

บทนิยาม:  ฟังก์ชัน F เป็นปฏิยานุพันธ์  (antiderivative) หนึ่งของ f ถ้า F(x)=f(x) สำหรับทุกค่าของ x ที่อยู่ในโดเมนของ f

 

ตัวอย่างการตรวจสอบปฏิยานุพันธ์

 ตัวอย่างที่ 1

จงแสดงว่า F(x)=3x2+2x1 เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของฟังก์ชัน f(x)=6x+2

F(x)=3x2+2x1

จะได้ F(x)=3(2)x+2+0=6x+2

นั่นคือ F(x)=f(x)

F(x) เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f(x)


 

ตัวอย่างที่ 2

จงแสดงว่า F(x)=x21 เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของฟังก์ชัน f(x)=xx21

F(x)=x21=(x21)12

จะได้

F(x)=12(x21)12(2x)=xx21

นั่นคือ F(x)=f(x)

 F(x) เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f(x)


 

ตัวอย่างที่ 3

กำหนดให้ f(x)=2x จงตรวจสอบว่า F1(x)=x2+3 และ F2(x)=x21 เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f(x) หรือไม่ 

F1(x)=x2+3

จะได้ F1(x)=2x

นั่นคือ F1(x)=f(x)

F2(x)=x21

จะได้ F2(x)=2x

นั่นคือ F2(x)=f(x)

ทั้ง F1(x) และ F2(x) เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f(x) 

 

จะเห็นว่า ปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันมีได้หลายแบบ ซึ่งแต่ละแบบจะแตกต่างกันเพียงค่าคงตัวเท่านั้น สรุปได้ว่า

ถ้า F เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของ f แล้ว ฟังก์ชัน G ที่นิยามโดย G(x)=F(x)+c เมื่อ c เป็นค่าคงตัว จะเป็นปฏิยานุพันธ์ของ f ด้วย

 

ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต

 ปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน f เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ f(x)dx อ่านว่า ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต (indefinite integral) ของฟังก์ชัน f เทียบกับตัวแปร x

ดังนั้น ถ้า F(x)=f(x) แล้ว จะได้ว่า f(x)dx=F(x)+c เมื่อ c เป็นค่าคงตัว

จากบทนิยาม

เรียกกระบวนการf(x)dxว่า การหาปริพันธ์ (integration)เครื่องหมายว่า เครื่องหมายปริพันธ์ (integral)f(x)ว่า ตัวถูกปริพันธ์ (integrand)dxว่า ผลต่างเชิงอนุพันธ์ (differential)

 

ตัวอย่างการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขต

ตัวอย่างที่ 4

จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ f(x)=6x+2

เนื่องจาก F(x)=3x2+2x จะได้ F(x)=6x+2=f(x)

จะได้ว่า (6x+2)dx=F(x)+c=3x2+2x+c เมื่อ c เป็นค่าคงตัว

 (6x+2)dx=3x2+2x+c เมื่อ c เป็นค่าคงตัว


 

ตัวอย่างที่ 5

จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ f(x)=xx21

จาก ตัวอย่างที่ 2 เราทราบว่า ถ้า F(x)=x21

จะได้ F(x)=xx21=f(x)

จะได้ว่า xx21dx=F(x)+c=x21+c เมื่อ c เป็นค่าคงตัว

 xx21dx=x21+c เมื่อ c เป็นค่าคงตัว

 

คำคล้าย : นิยามปริพันธ์และปริพันธ์ไม่จำกัดเขต antiderivative and indefinite integral
Under Growing
"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า
คอร์สแนะนำ
หนังสือแนะนำ
รายละเอียดการใช้งานคุกกี้

เพื่อประโยชน์และประสบการณ์ที่ดีในการใช้งานเว็บไซต์ของ บริษัท โอเพ่นดูเรียน จํากัด (“โอเพ่นดูเรียน”) โอเพ่นดูเรียนจึงใช้คุกกี้บนเว็บไซต์ของบริษัท ทั้งนี้ คุณสามารถศึกษาเพิ่มเติม เกี่ยวกับนโยบายคุกกี้ของโอเพ่นดูเรียนได้ที่ นโยบายคุกกี้ และคุณสามารถปฏิเสธคุกกี้ได้