ปฏิยานุพันธ์
บทนิยาม: ฟังก์ชัน F เป็นปฏิยานุพันธ์ (antiderivative) หนึ่งของ f ถ้า F′(x)=f(x) สำหรับทุกค่าของ x ที่อยู่ในโดเมนของ f
ตัวอย่างการตรวจสอบปฏิยานุพันธ์
ตัวอย่างที่ 1
จงแสดงว่า F(x)=3x2+2x−1 เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของฟังก์ชัน f(x)=6x+2
F(x)=3x2+2x−1
จะได้ F′(x)=3(2)x+2+0=6x+2
นั่นคือ F′(x)=f(x)
F(x) เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f(x)
ตัวอย่างที่ 2
จงแสดงว่า F(x)=√x2−1 เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของฟังก์ชัน f(x)=x√x2−1
F(x)=√x2−1=(x2−1)12
จะได้
F′(x)=12(x2−1)−12(2x)=x√x2−1
นั่นคือ F′(x)=f(x)
F(x) เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f(x)
ตัวอย่างที่ 3
กำหนดให้ f(x)=2x จงตรวจสอบว่า F1(x)=x2+3 และ F2(x)=x2−1 เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f(x) หรือไม่
F1(x)=x2+3
จะได้ F′1(x)=2x
นั่นคือ F′1(x)=f(x)
F2(x)=x2−1
จะได้ F′2(x)=2x
นั่นคือ F′2(x)=f(x)
ทั้ง F1(x) และ F2(x) เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f(x)
จะเห็นว่า ปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันมีได้หลายแบบ ซึ่งแต่ละแบบจะแตกต่างกันเพียงค่าคงตัวเท่านั้น สรุปได้ว่า
ถ้า F เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของ f แล้ว ฟังก์ชัน G ที่นิยามโดย G(x)=F(x)+c เมื่อ c เป็นค่าคงตัว จะเป็นปฏิยานุพันธ์ของ f ด้วย
ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต
ปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน f เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ∫f(x)dx อ่านว่า ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต (indefinite integral) ของฟังก์ชัน f เทียบกับตัวแปร x
ดังนั้น ถ้า F′(x)=f(x) แล้ว จะได้ว่า ∫f(x)dx=F(x)+c เมื่อ c เป็นค่าคงตัว
จากบทนิยาม
เรียกกระบวนการ∫f(x)dxว่า การหาปริพันธ์ (integration)เครื่องหมาย∫ว่า เครื่องหมายปริพันธ์ (integral)f(x)ว่า ตัวถูกปริพันธ์ (integrand)dxว่า ผลต่างเชิงอนุพันธ์ (differential)
ตัวอย่างการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขต
ตัวอย่างที่ 4
จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ f(x)=6x+2
เนื่องจาก F(x)=3x2+2x จะได้ F′(x)=6x+2=f(x)
จะได้ว่า ∫(6x+2)dx=F(x)+c=3x2+2x+c เมื่อ c เป็นค่าคงตัว
∫(6x+2)dx=3x2+2x+c เมื่อ c เป็นค่าคงตัว
ตัวอย่างที่ 5
จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ f(x)=x√x2−1
จาก ตัวอย่างที่ 2 เราทราบว่า ถ้า F(x)=√x2−1
จะได้ F′(x)=x√x2−1=f(x)
จะได้ว่า ∫x√x2−1dx=F(x)+c=√x2−1+c เมื่อ c เป็นค่าคงตัว
∫x√x2−1dx=√x2−1+c เมื่อ c เป็นค่าคงตัว