ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

(arithmetic mean)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต หรือที่เราเรียกกันย่อๆ ว่าค่าเฉลี่ย เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $(\bar{x})$ เป็นค่ากลางทางสถิติค่าหนึ่ง ที่เจอบ่อยและใช้เยอะมาก

หลักการการหาค่าเฉลี่ยง่ายๆ คือ เอาค่าทั้งหมดที่มีรวมกัน แล้วนำมา หารด้วย จำนวนของข้อมูล

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลไม่แจกแจงความถี่

ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่จะมีลักษณะเป็นตัวๆ คือ $x_1,x_2,\cdots,x_n$ ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิต คือ

$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n$

ตัวอย่างการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบไม่แจกแจงความถี่

สมมุติข้อมูลคือ $1,2,2,5,7,11,15,9$ ให้หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

จะได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ

$\begin{eqnarray*} \frac{1+2+2+5+7+11+15+9}{8} &=& \frac{52}{8}\\ &=& 6.5 \end{eqnarray*}$

$6.5$

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบแจกแจงความถี่

ข้อมูลแจกแจงความถี่ คือ ข้อมูลที่ให้มาเป็นช่วงไม่สามารถบอกได้ว่าแต่ละตัวมีค่าเท่าไหร่ เช่น ในช่วง $21-30$ มีจำนวน $10$ คน เราไม่สามารถบอกได้ว่าใน $10$ คนนี้แต่ละคนมีค่าเท่าใด แล้วเราจะหาผลรวมได้ยังไง?

เนื่องจากเราเชื่อว่าในช่วง $21-30$ นั้นย่อมมีทั้งคนที่ได้คะแนนมากและน้อยอยู่รวมกัน จึงใช้วิธีที่บอกว่าแต่ละตัวมากน้อยเท่าไหร่ไม่รู้ แต่สุดท้ายต้องเอามารวมกันอยู่ดี เราเลยประมาณได้ว่าทุกตัวมีค่าอยู่ตรงกลางพอดี

ดังนั้นถ้าเราให้ $x_i$ แทนจุดกึ่งกลางชั้นที่ $i$ และ $f_i$ แทนความถี่ในชั้นนั้น จะได้ว่าในชั้นนั้นมีผลรวมเท่ากับ $x_if_i$

จะได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ

$\frac{x_1f_1+x_2f_2+\cdots+x_kf_k}n={\displaystyle\frac{\sum^{k}_{i=1}{x_if_i}}{n}}$

เมื่อข้อมูลมีทั้งหมด $k$ ชั้น และมีจำนวนทั้งหมด $n$ ตัว

ตัวอย่างการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลแบบเจกแจงความถี่

สมมุติข้อมูลที่กำหนดให้คือ

คะแนน	จำนวน นักเรียน
31-40	5
41-50	10
51-60	8
61-70	2

จากข้อมูลจะได้

คะแนน	จำนวน นักเรียน $(f_i)$	$x_i$	$x_if_i$
31-40	5	35.5	177.5
41-50	10	45.5	445
51-60	8	55.5	444
61-70	2	65.5	131

ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ

$\begin{eqnarray*} \frac{177.5+445+444+131}{5+10+8+2} &=& \frac{1197.5}{25}\\ &=& 47.9 \end{eqnarray*}$

$47.9$

สูตรลดทอนในการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต

เมื่อหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบแจกแจงความถี่แล้วนั้นจะเห็นว่า เมื่อไหร่ก็ตามที่อัตภาคชั้นแต่ละชั้น เป็นจำนวนที่มีค่ามาก ๆ จะต้องคิดเลขเยอะมาก ซึ่งนอกจากจะน่าเบื่อในการคิดเลขแล้ว ยังทำให้เกิดความผิดพลาดได้ง่าย เราจึงมีสูตรลดทอนที่ทำให้การคิดเลขน้อยลง

นั้นคือ

$\bar{x}=a+I\frac{\sum^k_{i=1}{d_if_i}}n$ เมื่อ

$d_i=\frac{x_i-a}{I}$ และ

$k$ เป็นจำนวนอัตราภาคชั้น

โดยกำหนดให้ $a$ เป็นค่ากลางสมมุติ จะเลือกจากจุดกึ่งกลางชั้นชั้นใดก็ได้ แต่นิยมใช้ชั้นที่มีความถี่สูงสุด หรือชั้นที่อยู่ตรงกลาง

$\begin{align*} \text{เมื่อ} & I \text{แทนความกว้างของอัตราภาคชั้น}\\ & f_i \text{แทนความถี่ของแต่ละอัตรภาคชั้น}\\ & n \text{แทนจำนวนข้อมูลทั้งหมด} \end{align*}$

จากสูตรการลดทอนข้างบน จะดูเหมือนกับว่าสูตรจำยากมาก แต่จริงๆ แล้ว ส่วนมากข้อสอบที่ออกจะมีความกว้างอัตรภาคชั้นที่เท่ากันทั้งหมดทำให้การหา $d_i$ นั้นง่ายมาก เพียงแค่ยึดอัตราภาคชั้นที่เราสมมุติให้มีค่ากลางอยู่มีค่า $d=0$ หลังจากนั้น ถ้าชั้นด้านล่างให้ลบหนึ่งไปเรื่อย ๆ ถ้าชั้นด้านบนให้บวกหนึ่งไปเรื่อย ๆ แค่นั้นเอง

การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตจากสูตรลดทอน

จากข้อมูลที่กำหนดให้จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ความสูง (ซม.)	จำนวนคน
151-155	5
156-160	20
161-165	37
166-170	23
171-175	18
175-180	2

จากข้อมูลเลือกจุดกึ่งกลางชั้นที่ต้องการให้เป็นค่ากลางสมมุติ

ในข้อนี้สังเกตุว่าไม่มีชั้นที่อยู่ตรงกลางพอดี ดังนั้นให้เลือกชั้นที่อยู่เกือบกลางและความถี่สูงสุด นั้นคือชั้นที่ $3$ ดังนั้นค่า $a=163$

จากนั้นให้สร้างตารางใหม่คือ

ความสูง (ซม.)	จำนวนคน	$d_i$
151-155	5	-2
156-160	20	-1
161-165	37	0
166-170	23	1
171-175	18	2
176-180	2	3

ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ

$\begin{eqnarray*} \bar{x}&=&163+\frac{(-2)(5)+(-1)(20)+(0)(37)+(1)(23)+(2)(18)+(3)(2)}{5+20+37+23+18+2}\\ &=&163+\frac{-10-20+0+23+36+6}{105}\\ &=&163+\frac{35}{105}\\ &\approx&163+0.333\\ &=&163.333 \end{eqnarray*}$

$163.333$

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้ำหนัก

ปกติเวลาเราคิดค่าเฉลี่ยเลขคณิตหลักการคือเอาทุกตัวมาบวกกัน แล้วหารด้วยจำนวนตัวทั้งหมด จริง ๆ แล้ววิธีที่เราพูดถึงก็เป็นการถ่วงน้ำหนักเหมือนกัน แต่เป็นการถ่วงน้ำหนักที่ทุกตัวมีน้ำหนักเท่ากันคือ $1$

หลักการคิด ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้ำหนัก เป็นการคิดค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่ให้ความสำคัญของข้อมูลแต่ละตัวไม่เท่ากันตัวไหนสำคัญมากน้อย ขึ้นอยู่กับน้ำหนักที่ให้

การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้ำหนักที่พบบ่อยมาก คือ การคิดเกรดเฉลี่ย เนื่องจากเวลาคิดเกรดเฉลี่ยเราจะให้ความสำคัญของแต่ละวิชาไม่เท่ากัน

การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้ำหนัก

นักเรียนคนหนึ่ง ได้ทำการทดสอบจำนวน $4$ วิชา ซึ่งผลการทดสอบที่ได้คือ

วิขา	น้ำหนัก	เกรด
คณิตศาสตร์	$2.5$	$3.0$
ภาษาไทย	$2$	$4.0$
วิทยาศาสตร์	$2.5$	$3.5$
ศิลปะ	$1$	$4.0$

จงหาเกรดเฉลี่ยของนักเรียนคนนี้

ปกติถ้าโจทย์ให้หาค่าเฉลี่ยเราจะเอาเกรดทั้งหมดบวกกันแล้วหารด้วย $4$ ซึ่งสำหรับข้อนี้จะทำให้ผิด
เพราะว่าวิชาศิลปะมีผลในการคิดเกรดเฉลี่ยน้อยมาก

ดังนั้นเวลาเราคิดค่าเฉลี่ยที่มีการถ่วงน้ำหนัก ให้ยึดน้ำหนักของแต่ละตัวเป็นหลัง

ในข้อนี้

คณิตศาสตร์ ให้น้ำหนัก $2.5$ เวลาเราเอามาคิดค่าเฉลี่ยต้องมองเหมือนมีเกรดของคณิตอยู่ $2.5$ ตัว ซึ่งจะได้ผลรวมของวิชานี้คือ $(2.5)\cdot(3.0)=7.5$
ภาษาไทย ให้น้ำหนัก $2$ เราก็จะคิดว่ามีเกรดวิชานี้ $2$ ตัว ซึ่งได้ผลรวมของวิชานี้คือ $2\cdot(4.0)=8.0$
วิทยาศาสตร์ ให้น้ำหนัก $2.5$ แสดงว่ามีวิทย์ $2.5$ ตัว ได้ผลรวม $(2.5)\cdot(3.5)=8.75$
ศิลปะ ให้น้ำหนัก $1$ งั้นก็มีศิลปะแค่ตัวเดียว ได้ผลรวมเป็น $1\cdot(4.0)=4.0$

จากด้านบนเราจะสามารถหาผลรวมได้แล้ว แต่ตอนนี้ปัญหาคือเราจะเอาผลรวมที่ได้หารด้วยอะไร

ในเมื่อเราบอกว่าจำนวนตัวของแต่ละวิชาคือน้ำหนักที่ให้

ดังนั้นตัวหารจะไม่ใช่ $4$ แต่ต้องเป็นผลรวมของน้ำหนักทั้งหมดแทน

จะได้

$\begin{eqnarray*} \text{เกรดเฉลี่ย}&=&\frac{(2.5)\cdot(3.0)+2\cdot(4.0)+(2.5)\cdot(3.5)+1\cdot(4.0)}{2.5+2+2.5+1}\\ &=&\frac{7.5+8.0+8.75+4.0}{8}\\ &=&\frac{28.22}{8}\\ &=&3.53 \end{eqnarray*}$

เกรดเฉลี่ย คือ $3.53$

กำหนดให้ข้อมูลคือ $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n$ โดยที่แต่ละตัวมีน้ำหนักคือ $w_1,w_2,w_3,\cdots,w_n$ ตามลำดับ จะได้

$\text{ค่าเฉลี่ยเลขคณิต} = \frac{x_1w_1+x_2w_2+x_3w_3+\cdots+x_nw_n}{w_1+w_2+w_3+\cdots+w_n}$

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม

การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม ใช้ในการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลมากกว่าหนึ่งชุด โดยที่ข้อมูลที่เรารู้คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลแต่ละชุด และจำนวนข้อมูลในแต่ละชุด

กำหนดให้ $\bar{x_1},\bar{x_2},\bar{x_3},\cdots,\bar{x_k}$ เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ $1,2,3,\cdots,k$ ตามลำดับ และจำนวนข้อมูลในแต่ละชุดคือ $n_1,n_2,n_3,\cdots,n_k$ ตามลำดับ

$\text{ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม}=\frac{\bar{x_1}n_1+\bar{x_2}n_2+\bar{x_3}n_3+\cdots+\bar{x_k}n_k}{n_1+n_2+n_3+\cdots+n_k}$

หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม

นักเรียนห้องหนึ่ง มีนักเรียนหญิง $23$ คน นักเรียนชาย $32$ คน จากข้อมูลความสูงจะได้ว่า ความสูงเฉลี่ยของนักเรียนหญิงคือ $159.8$ เซนติเมตร และความสูงเฉลี่ยของนักเรียนชายคือ $165.3$ จงหาความสูงเฉลี่ยของนักเรียนห้องนี้

จากโจทย์จะได้ว่ามีข้อมูล $2$ ชุด

ชุดที่ $1$ คือข้อมูลของนักเรียนหญิง จะได้ $\bar{x_1}=159.8$ และ $n_1=23$

ชุดที่ $2$ คือข้อมูลของนักเรียนชาย จะได้ $\bar{x_2}=165.3$ และ $n_2=32$

จากข้อมูลทั้ง $2$ ชุดจะได้

$\begin{eqnarray*} \text{ความสูงเฉลี่ย}&=&\frac{159.8\cdot23+165.3\cdot32}{23+32}\\ &=&\frac{3675.4+5289.6}{55}\\ &=&\frac{8965}{55}\\ &=&163 \end{eqnarray*}$

ความสูงเฉลี่ยของนักเรียนห้องนี้คือ $163$ เซนติเมตร

คำคล้าย : ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

Under Growing

"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า

@Opendurian

คอร์สแนะนำ

หนังสือแนะนำ