ลำดับและอนุกรมเลขคณิต, arithmetic sequence and arithmetic series

(arithmetic progression)

ม. ปลาย / คณิตศาสตร์ / ลำดับและอนุกรม

ลำดับเลขคณิต

ลำดับเลขคณิตคือ ลำดับที่ พจน์ขวา $(a_{n+1})$ $-$ พจน์ซ้าย $(a_n)=d$ เป็นค่าคงตัวเท่ากันตลอดนั่นคือ

$a_{n+1}-a_n=d$

ข้อสังเกต ถ้ากำหนดให้ $a_1, a_2,\ldots, a_n, a_{n+1},\ldots$ เป็นลำดับเลขคณิตแล้ว

$a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots=a_{n+1}-a_n=d$

ดังนั้น ลำดับเลขคณิต $a_1, a_2,\ldots, a_n, a_{n+1},\ldots$ จึงเขียนได้อีกแบบเป็น

$a_1,~ a_1+d,~ a_1+2d,\ldots, ~a_1+(n-1)d,~ a_1+nd,\ldots$

สูตร หาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตคือ

$a_n=a_1+(n-1)d$

การหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต

จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต $1, 6, 11, 16, \ldots$

จากโจทย์เรารู้ค่า $a_1=1$ และ $d=6-1=5$

จากสูตรการหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตคือ $a_n=a_1+(n-1)d$

เราจะได้ $a_n=1+(n-1)5=5n-4$

$Ent' 39$ จงหาค่า

$m$ ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุด ที่ทำให้

$a_m$ ของลำดับเลขคณิต

$2, 5, 8,\ldots$ มีค่ามากกว่า

$1,000$

เรารู้ค่า $a_1=2$ และ $d=5-2=3$ เราสมมติ $a_m=1,000$ เมื่อเรานำค่าต่างๆมาแทนในสูตร จะได้

$1000 = 2+3(m-1)$

เมื่อแก้สมการออกมาจะได้ค่า $m\approx 333.66$ ซึ่งค่า $m$ ที่เราต้องการเป็นจำนวนเต็ม

ถ้าเราตอบ $m=333$ จะได้ว่า $a_{333}=2+3\times (333-1)=2+996=998$ แต่ $a_{334}=2+3\times (334-1)=2+999=1001$ ซึ่งมีค่ามากกว่า $1,000$

ดังนั้นจึงตอบ $m=334$

อนุกรมเลขคณิต

อนุกรมเลขคณิตคือ อนุกรมที่เกิดจากการนำลำดับเลขคณิตมาบวกกัน

ให้ $a_1, a_1+d, \ldots, a_1+(n-1)d$ เป็นลำดับเลขคณิต

จะได้อนุกรมเลขคณิตดังนี้

$\begin{eqnarray*} S_1&=& a_1 \\ S_2&=& a_1+(a_1+d) =2a_1+d\\ S_3&=& a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=3a_1+3d\\ &\vdots \\ S_n&=&\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d) \text{ และ } \frac{n}{2}(a_1+a_n) \end{eqnarray*}$

สูตร ผลรวม $n$ พจน์ของอนุกรมเลขคณิตคือ

$\displaystyle\frac{n}{2}\left(2a_1+(n-1)d\right) \text{ และ } \displaystyle\frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)$

ข้อสังเกต

พจน์ที่ $n$ ของอนุกรมเลขคณิตยังคงเป็นสูตรเดียวกับลำดับเลขคณิต คือ $a_n = a_1 \left(n-1\right)d$ เพราะถือว่าเป็นตัวที่ $n$ ไม่ใช่ผลรวม $n$ พจน์
ผลรวม $n$ พจน์ หรือ ผลบวก $n$ พจน์ มีชื่อเรียกอีกชื่อหนึ่งว่าผลบวกย่อย เขียนแทนด้วย $S_n$
ใช้สูตร $S_n = \frac{n}{2}\left(2a_1+(n-1)d\right)$ เมื่อทราบ $a_1$ และ $d$ โดยไม่ต้องคำนวณพจน์สุดท้าย ( $a_n$ )
ใช้สูตร $S_n = \frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)$ เมื่อทราบค่าของ $a_1$ และพจน์สุดท้าย ( $a_n$ )

ตัวอย่างการหาผลบวก $n$ พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต

จงหาผลบวก $n$ พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต $3+9+15+21+\ldots$

จากโจทย์อนุกรมที่กำหนดให้มี $a_1=3$ และ $d=6$

จากสูตร $\displaystyle\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$

จะได้

$\begin{align*} S_n=&\frac{n}{2}[2\times 3+(n-1)\times 6]\\ =&\frac{n}{2}[6+(n-1)\times 6]\\ =&\frac{n}{2}(6n)\\ =&3n^2 \end{align*}$

$3n^2$

คำคล้าย : ปูพื้นฐานลำดับและอนุกรมเลขคณิต

Under Growing

"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า

@Opendurian

คอร์สแนะนำ

HACK ENGLISH for TGAT & A-LEVEL

ติว English ครบทั้งเนื้อหา เทคนิค และแนวโจทย์ อัปเดตใหม่ล่าสุด! พร้อมสอบทันที เก็บคะแนนเต็ม ทั้ง TGAT & A-Level ติดมหาลัยเรื่องหมู ๆ!

คอร์สติว Kru Jeab IELTS Academic 4 Skills

คอร์สเรียน IELTS ออนไลน์ ติวสอบ IELTS ครบ 4 ทักษะ (Listening/Reading/Writing/Speaking)

หนังสือแนะนำ

-54%

NEW!!

5.0

BOXSET ถ้าโลกมันแย่ ก็แค่คิดแบบคาปิบาร่า

ขายได้ 392 ชิ้น

฿1,280 ฿580

-7%

ขายดี!!

5.0

หนังสือปีศาจตัวนั้น คือฉันเอง A Guide to Fighting the Demons in My Heart

ขายได้ 1,474 ชิ้น

฿399 ฿369

ลำดับเลขคณิต

การหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต

อนุกรมเลขคณิต

ตัวอย่างการหาผลบวก nn พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต

ตัวอย่างการหาผลบวก $n$ พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต