กฎลูกโซ่
(chain rule)

อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ (Derivatives of Composite Functions)

สูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบนี้ เรียกอีกชื่อหนึ่งว่า "กฎลูกโซ่ (chain rule)"

กฎลูกโซ่  ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ g เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ f(x) แล้ว gf หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ 

(gf)(x)=g(f(x))f(x)

จากสูตร ถ้าให้ u=f(x) และให้ y=(gf)(x)

จะได้ y=g(f(x))=g(u)

นั่นคือ dydx=g(f(x))f(x)=ddug(u)ddx(u)

เพราะฉะนั้น สูตรกฎลูกโซ่สามารถเขียนในอีกรูปแบบหนึ่งได้ว่า

ถ้า u=f(x),y=g(u)=g(f(x)) และ dydu,dudx หาค่าได้แล้ว dydx=dydududx

ว่าด้วยเรื่องของสัญลักษณ์ dydx นั้น หมายถึงการหาอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x คือมอง x เป็นตัวแปรนั่นเอง ดังนั้น dydu คือการหาอนุพันธ์ของ y เมื่อมอง u เป็นตัวแปร และ dudx คือการหาอนุพันธ์ของ u เมื่อมอง x เป็นตัวแปร

 

ตัวอย่างการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ

ตัวอย่างที่ 1

กำหนดให้ y=(2x+1)3 จงหาอนุพันธ์ของ y

ให้ u=2x+1 จะได้ y=u3

y=dydududx=ddu(u3)ddx(2x+1)=(3u2)(2)=6u2

จะได้ y=6u2=6(2x+1)2 

y=6(2x+1)2

 

การใช้กฎลูกโซ่นั้น สามารถมองให้ง่ายขึ้นโดยการ "ดิฟไส้" เช่นในตัวอย่างที่ 1 จาก y=(2x+1)3 หากเรามองให้ 2x+1 เป็นไส้ วิธีการหาอนุพันธ์ในข้อนี้คือให้หาอนุพันธ์โดยมองภาพรวมใหญ่ๆ ให้ 2x+1 คือตัวแปรตัวหนึ่ง เราจะหาอนุพันธ์ได้เป็น 3(2x+1)2 แล้วให้ "ดิฟไส้" ก็คือหาอนุพันธ์ของ 2x+1 อีกครั้ง จะได้ 3(2x+1)2(2)=6(2x+1)2


 

ตัวอย่างที่ 2

กำหนดให้ y=(13x2)5 จงหาอนุพันธ์ของ y

เรามอง 13x2 เป็นไส้ จะได้

y=5(13x2)4(6x)ดิฟไส้=30x(13x2)4

y=30x(13x2)4 


 

ตัวอย่างที่ 3

กำหนด f(x)=x2+3x1 จงหา f(2)

f(x)=x2+3x1=(x2+3x1)12

จะได้

f(x)=12(x2+3x1)12(2x+3)ดิฟไส้=2x+32x2+3x1

ดังนั้น

f(2)=2(2)+3222+3(2)1=729=72(3)=76

f(2)=76 


 

ตัวอย่างที่ 4

กำหนดฟังก์ชัน s(t)=1(2t21)3 จงหา s(1)

ในข้อนี้ เราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน s เทียบกับ t นั่นคือมอง t เป็นตัวแปร

s(t)=1(2t21)3=(2t21)3

จะได้

s(t)=3(2t21)4(4t)=12t(2t21)4

ดังนั้น

s(1)=12(1)(2(1)21)4=12

s(1)=12 

 

ตัวอย่างการใช้กฎลูกโซ่รวมกับสูตรผลคูณและสูตรผลหาร

ตัวอย่างที่ 6

กำหนด y=(x3)3(2x+1) จงหาอนุพันธ์ของ y

 ข้อนี้ y อยู่ในรูปของผลคูณของ (x3)3 และ 2x+1 ดังนั้นจึงต้องใช้สูตรผลคูณก่อน

y=(x3)3ddx(2x+1)+(2x+1)ddx(x3)3ฟังก์ชันประกอบ=(x3)3(2)+(2x+1)(3)(x3)2(1)=2(x3)3+(6x+3)(x3)2=(x3)2(2x6+6x+3)=(x3)2(8x3)

y=(x3)2(8x3) 


 

ตัวอย่างที่ 7

 กำหนด f(x)=(2x+112x)3 จงหา f(1)

ข้อนี้เราสามารถมอง 2x+112x เป็น "ไส้" โดยที่อยู่ในรูปของผลหาร

จะได้

f(x)=3(2x+112x)2ddx(2x+112x)ดิฟไส้               (1)

ดิฟไส้ ต้องใช้สูตรผลหาร

จะได้

ddx(2x+112x)=(12x)(2)(2x+1)(2)(12x)2=24x+4x+2(12x)2=4(12x)2

แทนใน (1) จะได้

f(x)=3(2x+112x)24(12x)2

ดังนั้น

f(1)=3(2(1)+112(1))24(12(1))2=3(31)24(1)2=3(9)(4)=108

f(1)=108 

 

ตัวอย่างการใช้กฎลูกโซ่เมื่อทราบค่าของอนุพันธ์ของบางฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 8

กำหนดให้ F(x)=f(g(x)) และ g(2)=4,g(2)=5,f(4)=9 จงหา F(2)

F(x)=f(g(x))g(x)

จะได้

F(2)=f(g(2))g(2)=f(4)(5)=(9)(5)=45

F(2)=45 

 

คำคล้าย : กฎลูกโซ่
Under Growing
"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า
คอร์สแนะนำ
หนังสือแนะนำ
รายละเอียดการใช้งานคุกกี้

เพื่อประโยชน์และประสบการณ์ที่ดีในการใช้งานเว็บไซต์ของ บริษัท โอเพ่นดูเรียน จํากัด (“โอเพ่นดูเรียน”) โอเพ่นดูเรียนจึงใช้คุกกี้บนเว็บไซต์ของบริษัท ทั้งนี้ คุณสามารถศึกษาเพิ่มเติม เกี่ยวกับนโยบายคุกกี้ของโอเพ่นดูเรียนได้ที่ นโยบายคุกกี้ และคุณสามารถปฏิเสธคุกกี้ได้