อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ (Derivatives of Composite Functions)
สูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบนี้ เรียกอีกชื่อหนึ่งว่า "กฎลูกโซ่ (chain rule)"
กฎลูกโซ่ ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ g เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ f(x) แล้ว g∘f หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ
(g∘f)′(x)=g′(f(x))f′(x)
จากสูตร ถ้าให้ u=f(x) และให้ y=(g∘f)(x)
จะได้ y=g(f(x))=g(u)
นั่นคือ dydx=g′(f(x))f′(x)=ddug(u)⋅ddx(u)
เพราะฉะนั้น สูตรกฎลูกโซ่สามารถเขียนในอีกรูปแบบหนึ่งได้ว่า
ถ้า u=f(x),y=g(u)=g(f(x)) และ dydu,dudx หาค่าได้แล้ว dydx=dydu⋅dudx
ว่าด้วยเรื่องของสัญลักษณ์ dydx นั้น หมายถึงการหาอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x คือมอง x เป็นตัวแปรนั่นเอง ดังนั้น dydu คือการหาอนุพันธ์ของ y เมื่อมอง u เป็นตัวแปร และ dudx คือการหาอนุพันธ์ของ u เมื่อมอง x เป็นตัวแปร
ตัวอย่างการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ
กำหนดให้ y=(2x+1)3 จงหาอนุพันธ์ของ y
ให้ u=2x+1 จะได้ y=u3
y′=dydu⋅dudx=ddu(u3)⋅ddx(2x+1)=(3u2)(2)=6u2
จะได้ y′=6u2=6(2x+1)2
y′=6(2x+1)2
การใช้กฎลูกโซ่นั้น สามารถมองให้ง่ายขึ้นโดยการ "ดิฟไส้" เช่นในตัวอย่างที่ 1 จาก y=(2x+1)3 หากเรามองให้ 2x+1 เป็นไส้ วิธีการหาอนุพันธ์ในข้อนี้คือให้หาอนุพันธ์โดยมองภาพรวมใหญ่ๆ ให้ 2x+1 คือตัวแปรตัวหนึ่ง เราจะหาอนุพันธ์ได้เป็น 3(2x+1)2 แล้วให้ "ดิฟไส้" ก็คือหาอนุพันธ์ของ 2x+1 อีกครั้ง จะได้ 3(2x+1)2(2)=6(2x+1)2
ตัวอย่างที่ 2
กำหนดให้ y=(1−3x2)5 จงหาอนุพันธ์ของ y
เรามอง 1−3x2 เป็นไส้ จะได้
y′=5(1−3x2)4(−6x)⏟ดิฟไส้=−30x(1−3x2)4
y′=−30x(1−3x2)4
ตัวอย่างที่ 3
กำหนด f(x)=√x2+3x−1 จงหา f′(2)
f(x)=√x2+3x−1=(x2+3x−1)12
จะได้
f′(x)=12(x2+3x−1)−12(2x+3)⏟ดิฟไส้=2x+32√x2+3x−1
ดังนั้น
f′(2)=2(2)+32√22+3(2)−1=72√9=72(3)=76
f′(2)=76
ตัวอย่างที่ 4
กำหนดฟังก์ชัน s(t)=1(2t2−1)3 จงหา s′(−1)
ในข้อนี้ เราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน s เทียบกับ t นั่นคือมอง t เป็นตัวแปร
s(t)=1(2t2−1)3=(2t2−1)−3
จะได้
s′(t)=−3(2t2−1)−4(4t)=−12t(2t2−1)4
ดังนั้น
s′(−1)=−12(−1)(2(−1)2−1)4=12
s′(−1)=12
ตัวอย่างการใช้กฎลูกโซ่รวมกับสูตรผลคูณและสูตรผลหาร
ตัวอย่างที่ 6
กำหนด y=(x−3)3(2x+1) จงหาอนุพันธ์ของ y
ข้อนี้ y อยู่ในรูปของผลคูณของ (x−3)3 และ 2x+1 ดังนั้นจึงต้องใช้สูตรผลคูณก่อน
y′=(x−3)3ddx(2x+1)+(2x+1)ddx(x−3)3⏟ฟังก์ชันประกอบ=(x−3)3(2)+(2x+1)(3)(x−3)2(1)=2(x−3)3+(6x+3)(x−3)2=(x−3)2(2x−6+6x+3)=(x−3)2(8x−3)
y′=(x−3)2(8x−3)
ตัวอย่างที่ 7
กำหนด f(x)=(2x+11−2x)3 จงหา f′(1)
ข้อนี้เราสามารถมอง 2x+11−2x เป็น "ไส้" โดยที่อยู่ในรูปของผลหาร
จะได้
f′(x)=3(2x+11−2x)2ddx(2x+11−2x)⏟ดิฟไส้ …(1)
ดิฟไส้ ต้องใช้สูตรผลหาร
จะได้
ddx(2x+11−2x)=(1−2x)(2)−(2x+1)(−2)(1−2x)2=2−4x+4x+2(1−2x)2=4(1−2x)2
แทนใน (1) จะได้
f′(x)=3(2x+11−2x)2⋅4(1−2x)2
ดังนั้น
f′(1)=3(2(1)+11−2(1))2⋅4(1−2(1))2=3(3−1)2⋅4(−1)2=3(9)(4)=108
f′(1)=108
ตัวอย่างการใช้กฎลูกโซ่เมื่อทราบค่าของอนุพันธ์ของบางฟังก์ชัน
ตัวอย่างที่ 8
กำหนดให้ F(x)=f(g(x)) และ g(2)=4,g′(2)=5,f′(4)=9 จงหา F′(2)
F′(x)=f′(g(x))g′(x)
จะได้
F′(2)=f′(g(2))g′(2)=f′(4)(5)=(9)(5)=45
F′(2)=45