ฟังก์ชันคอมโพสิท (ฟังก์ชันประกอบ)
ให้ f,g เป็นฟังก์ชัน ซึ่ง Rf∩Dg≠∅ ฟังก์ชันคอมโพสิทของ f และ g ที่ x เขียนแทนด้วย (g∘f)(x) โดยที่
(g∘f)(x)=g(f(x)) สำหรับทุก x ซึ่ง f(x)∈Dg
โดเมนของ g∘f คือ Dg∘f={x∈Df|f(x)∈Rf∩Dg}
แผนภาพแสดงฟังก์ชันคอมโพสิท
ตัวอย่างฟังก์ชันคอมโพสิท
กำหนดให้ f={(1,3),(2,5),(3,7),(4,6)} และ g={(3,−2),(4,3),(5,0),(6,1),(7,2)}
จงเขียน g∘f,f∘g,f∘f และ g∘g
พิจารณา g∘f
เริ่มต้นจากโดเมนในฟังก์ชัน f เช่น x=1 ส่งผ่านไปยัง f(1)=3 และส่งต่อไปยัง g(f(1))=g(3)=−2 จะได้ว่า (g∘f)(1)=−2
ดังนั้น g∘f={(1,−2),(2,0),(3,2),(4,1)}
ในทำนองเดียวกัน เราจะได้
f∘g={(4,7),(6,3),(7,5)}
f∘f={(1,7)}
g∘g={(4,−2)}
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับฟังก์ชันคอมโพสิท
กำหนด f,g และ h เป็นฟังก์ชัน แล้ว
- ถ้า f:A→B และ g:B→C แล้ว g∘f:A→C
- ถ้า f:A→B และ g:B→C แล้ว จะได้ Dg∘f=A และ Rg∘f⊂C
- ถ้า f:Aทั่วถึง⟶B และ g:Bทั่วถึง⟶C แล้ว g∘f:Aทั่วถึง⟶C
- ถ้า f:A1−1⟶B และ g:B1−1⟶C แล้ว g∘f:A1−1⟶C
- (f∘g)∘h=f∘(g∘h)
- ถ้า f เป็นฟังก์ชัน 1−1 แล้ว (f∘f−1)(x)=(f−1∘f)(x)=x แต่ไม่จำเป็นที่ f∘f−1=f−1∘f
- ถ้า f:A1−1⟶B และ g:B1−1⟶C แล้ว (g∘f)−1=f−1∘g−1
ตัวอย่างฟังก์ชันคอมโพสิท
กำหนดให้ f(x)=x−5 และ g(x)=1−x2 จงหา (f∘g)(x) และ (g∘f)(−1)
(f∘g)(x)=f(g(x))=f(1−x2)=(1−x2)−5=−x2−4
และ
(g∘f)(−2)=g(f(−1))
ซึ่ง f(−1)=−1−5=−6
(g∘f)(−2)=g(−6)=1−(−6)2=1−36=−35
(f∘g)(x)=−x2−4 และ (g∘f)(−2)=−35