กฎของคราเมอร์
(cramers rule)

วิธีการนี้เป็นอีกวิธีที่ใช้ช่วยแก้ระบบสมการเชิงเส้น ซึ่งคิดค้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสเซอร์แลนด์ชื่อ Gabrial Cramer (1704–1752)

การแก้ระบบสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปรโดยใช้กฏของคราเมอร์

ให้ระบบสมการเชิงเส้น
 a1x+b1y=d1a2x+b2y=d2


เมื่อ a1,a2,b1,b2,d1,d2 เป็นค่าคงตัว  สามารถใช้กฏของคราเมอร์หาคำตอบของระบบสมการได้เช่นกันโดยที่
A=[a1b1a2b2],X=[xy] และ D=[d1d2]


โดยกฎของคราเมอร์จะได้คำตอบของระบบสมการนี้ คือ
x=det[d1b1d2b2]detA,y=det[a1d1a2d2]detA

 ตัวอย่างการแก้ระบบสมการโดยใช้กฏของคราเมอร์ของเมทริกซ์ 2×2

จงหาคำตอบของสมการเชิงเส้นต่อไปนี้ x+2y=1 และ 3x+4y=2

เราเขียนเป็น
[1234][xy]=[12]


นั่น คือ A=[1234],[12] และ detA=2 จากรูป


การ หาค่า x ทำได้โดยการนำเมทริกซ์ [12] ไปแทนค่าในหลักที่ 1
ของเมทริกซ์ A=[1234] และหลังจากนั้น det[1224]=0 จากรูป

x=det[1224]detA=02=0


การ หาค่า y ทำได้โดยการนำเมทริกซ์ [12] ไปแทนค่าในหลักที่ 2
ของเมทริกซ์ A=[1234] และหลังจากนั้น det[1132]=1 จากรูป

y=det[1132]detA=12=12

ดังนั้น x=0 และ y=12

การแก้ระบบสมการเชิงเส้น 3 ตัวแปรโดยใช้วิธีของคราเมอร์

ให้ระบบสมการเชิงเส้น

a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3 


เมื่อ a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3,d1,d2,d3 เป็นค่าคงตัว

สามารถเขียนในรูปของ AX=D ได้ดังนี้
[a1b1c1a2b2c2a3b3c3][xyz]=[d1d2d3]

เมื่อ A=[a1b1c1a2b2c2a3b3c3],X=[xyz] และ D=[d1d2d3]
 

โดยกฎของคราเมอร์จะได้คำตอบของระบบสมการนี้ คือ
x=det[d1b1c1d2b2c2d3b3c3]detA,y=det[a1d1c1a2d2c2a3d3c3]detA,z=det[a1b1d1a2b2d2a3b3d3]detA

สำหรับการแก้ระบบสมการโดยใช้กฏของคราเมอร์ของเมทริกซ์ที่มีมิติสูงกว่า 3×3 สามารถทำได้โดยใช้หลักการเดียวกัน

 ตัวอย่างการแก้ระบบสมการโดยใช้กฏของคราเมอร์ของเมทริกซ์ 3×3

จงหาค่า y โดยที่ y เป็นคำตอบของสมการเชิงเส้นที่กำหนดให้
x+2y+z=12x+y+3z=2xy+z=3

เราเขียนเป็น
[121213111][xyz]=[123]


นั่น คือ A=[121213111],[123] และ detA=3 จากรูป

 

การหาค่า y ทำได้โดยการนำเมทริกซ์ [123] ไปแทนค่าในหลักที่ 2 ของเมทริกซ์
A=[121213111] และหลังจากนั้น det[111223131]=2 จากรูป 

y=det[111223131]detA=23

y=23


ตัวอย่างการแก้ระบบสมการโดยใช้กฏของคราเมอร์ของเมทริกซ์ 3×3

จงหาคำตอบของระบบสมการ
x+z=12x+y=2xy+z=3

 

เราเขียนเป็น
[101210111][xyz]=[123]


นั่น คือ A=[101210111],[123] และ detA=2 จากรูป

 

การ หาค่า x ทำได้โดยการนำเมทริกซ์ [123] ไปแทนค่าในหลักที่ 1 ของเมทริกซ์
A=[101210111] และหลังจากนั้น det[101210311]=4 ดังรูป

x=det[101210311]detA=42=2


การหาค่า y ทำได้โดยการนำเมทริกซ์ [123] ไปแทนค่าในหลักที่ 2 ของเมทริกซ์
A=[101210111] และหลังจากนั้น det[111220131]=4 จากรูป

y=det[111220131]detA=42=2


การหาค่า z ทำได้โดยการนำเมทริกซ์ [123] ไปแทนค่าในหลักที่ 3 ของเมทริกซ์
A=[101210111] และหลังจากนั้น det[101212113]=2 จากรูป

z=det[101212113]detA=22=1


 

ดังนั้น x=2,y=2 และ z=1 

 

คำคล้าย : กฎของคราเมอร์
Under Growing
"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า
คอร์สแนะนำ
หนังสือแนะนำ
รายละเอียดการใช้งานคุกกี้

เพื่อประโยชน์และประสบการณ์ที่ดีในการใช้งานเว็บไซต์ของ บริษัท โอเพ่นดูเรียน จํากัด (“โอเพ่นดูเรียน”) โอเพ่นดูเรียนจึงใช้คุกกี้บนเว็บไซต์ของบริษัท ทั้งนี้ คุณสามารถศึกษาเพิ่มเติม เกี่ยวกับนโยบายคุกกี้ของโอเพ่นดูเรียนได้ที่ นโยบายคุกกี้ และคุณสามารถปฏิเสธคุกกี้ได้