วิธีการนี้เป็นอีกวิธีที่ใช้ช่วยแก้ระบบสมการเชิงเส้น ซึ่งคิดค้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสเซอร์แลนด์ชื่อ Gabrial Cramer (1704–1752)
การแก้ระบบสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปรโดยใช้กฏของคราเมอร์
ให้ระบบสมการเชิงเส้น
a1x+b1y=d1a2x+b2y=d2
เมื่อ a1,a2,b1,b2,d1,d2 เป็นค่าคงตัว สามารถใช้กฏของคราเมอร์หาคำตอบของระบบสมการได้เช่นกันโดยที่
A=[a1b1a2b2],X=[xy] และ D=[d1d2]
โดยกฎของคราเมอร์จะได้คำตอบของระบบสมการนี้ คือ
x=det[d1b1d2b2]detA,y=det[a1d1a2d2]detA
ตัวอย่างการแก้ระบบสมการโดยใช้กฏของคราเมอร์ของเมทริกซ์ 2×2
จงหาคำตอบของสมการเชิงเส้นต่อไปนี้ x+2y=1 และ 3x+4y=2
เราเขียนเป็น
[1234][xy]=[12]
นั่น คือ A=[1234],[12] และ detA=−2 จากรูป
การ หาค่า x ทำได้โดยการนำเมทริกซ์ [12] ไปแทนค่าในหลักที่ 1
ของเมทริกซ์ A=[1234] และหลังจากนั้น det[1224]=0 จากรูป
x=det[1224]detA=0−2=0
การ หาค่า y ทำได้โดยการนำเมทริกซ์ [12] ไปแทนค่าในหลักที่ 2
ของเมทริกซ์ A=[1234] และหลังจากนั้น det[1132]=−1 จากรูป
y=det[1132]detA=−1−2=12
ดังนั้น x=0 และ y=12
การแก้ระบบสมการเชิงเส้น 3 ตัวแปรโดยใช้วิธีของคราเมอร์
ให้ระบบสมการเชิงเส้น
a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3
เมื่อ a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3,d1,d2,d3 เป็นค่าคงตัว
สามารถเขียนในรูปของ AX=D ได้ดังนี้
[a1b1c1a2b2c2a3b3c3][xyz]=[d1d2d3]
เมื่อ A=[a1b1c1a2b2c2a3b3c3],X=[xyz] และ D=[d1d2d3]
โดยกฎของคราเมอร์จะได้คำตอบของระบบสมการนี้ คือ
x=det[d1b1c1d2b2c2d3b3c3]detA,y=det[a1d1c1a2d2c2a3d3c3]detA,z=det[a1b1d1a2b2d2a3b3d3]detA
สำหรับการแก้ระบบสมการโดยใช้กฏของคราเมอร์ของเมทริกซ์ที่มีมิติสูงกว่า 3×3 สามารถทำได้โดยใช้หลักการเดียวกัน
ตัวอย่างการแก้ระบบสมการโดยใช้กฏของคราเมอร์ของเมทริกซ์ 3×3
จงหาค่า y โดยที่ y เป็นคำตอบของสมการเชิงเส้นที่กำหนดให้
x+2y+z=12x+y+3z=2x−y+z=3
เราเขียนเป็น
[1212131−11][xyz]=[123]
นั่น คือ A=[1212131−11],[123] และ detA=3 จากรูป
การหาค่า y ทำได้โดยการนำเมทริกซ์ [123] ไปแทนค่าในหลักที่ 2 ของเมทริกซ์
A=[1212131−11] และหลังจากนั้น det[111223131]=−2 จากรูป
y=det[111223131]detA=−23
y=−23
ตัวอย่างการแก้ระบบสมการโดยใช้กฏของคราเมอร์ของเมทริกซ์ 3×3
จงหาคำตอบของระบบสมการ
x+z=12x+y=2x−y+z=3
เราเขียนเป็น
[1012101−11][xyz]=[123]
นั่น คือ A=[1012101−11],[123] และ detA=−2 จากรูป
การ หาค่า x ทำได้โดยการนำเมทริกซ์ [123] ไปแทนค่าในหลักที่ 1 ของเมทริกซ์
A=[1012101−11] และหลังจากนั้น det[1012103−11]=−4 ดังรูป
x=det[1012103−11]detA=−4−2=2
การหาค่า y ทำได้โดยการนำเมทริกซ์ [123] ไปแทนค่าในหลักที่ 2 ของเมทริกซ์
A=[1012101−11] และหลังจากนั้น det[111220131]=4 จากรูป
y=det[111220131]detA=4−2=−2
การหาค่า z ทำได้โดยการนำเมทริกซ์ [123] ไปแทนค่าในหลักที่ 3 ของเมทริกซ์
A=[1012101−11] และหลังจากนั้น det[1012121−13]=2 จากรูป
z=det[1012121−13]detA=2−2=−1
ดังนั้น x=2,y=−2 และ z=−1