ปริพันธ์แบบจำกัดเขต
ปริพันธ์แบบจำกัดเขตจะเขียนอยู่ในรูป ∫baf(x)dx โดยเราจะอ่านว่า "อินทิเกรตจาก a ถึง b" มีวิธีการคำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส ดังนี้
ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส (The Fundamental Theorem of Calculus)
กำหนด f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a,b] ถ้า F เป็นปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน f แล้ว จะได้
∫baf(x)dx=F(b)−F(a)
การหาปริพันธ์แบบจำกัดเขตจะมีผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงค่าหนึ่ง สามารถสรุปขั้นตอนการหาได้ดังต่อไปนี้
- หาปริพันธ์แบบไม่จำกัดเขต ∫f(x)dx สมมุติได้คำตอบคือ F(x)
- แทนค่า a และ b ลงใน F(x) จะได้ค่าของ F(a) และ F(b)
- ค่าของ ∫baf(x)dx จะเท่ากับ F(b)−F(a)
ข้อสังเกต
ในขั้นตอนที่เราหาปริพันธ์แบบไม่จำกัดเขต ปกติเราต้องเพิ่ม +c ลงในผลลัพธ์ด้วย แต่ในการหาปริพันธ์แบบจำกัดเขตนั้น เราไม่จำเป็นต้องเพิ่ม +c เข้าในผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 1. เนื่องจากเมื่อเราคำนวณ F(b)−F(a) ในขั้นตอนที่ 3. แล้ว ค่า +c จะตัดกันไปนั่นเอง
หมายเหตุ: ในทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส เราสามารถเขียนแทน F(b)−F(a) ด้วยสัญลักษณ์ F(x)|ba หรือ [F(x)]ba เพื่อให้สะดวกในการเขียนขั้นตอนการคำนวณได้
ตัวอย่างการหาปริพันธ์แบบจำกัดเขต
ตัวอย่างที่ 1
จงหาค่าของ ∫10x2dx
1. หาปริพันธ์แบบไม่จำกัดเขต
∫x2dx=x33
จะได้ F(x)=x33
2. แทนค่า 0 และ 1 ใน F(x)
F(1)=133=13
F(0)=033=0
3. หาปริพันธ์แบบจำกัดเขต จาก 0 ถึง 1
∫10x2dx=13−0=13
จะได้ ∫10x2dx=13
จะเห็นว่า การเขียนแสดงขั้นตอนการคำนวณข้างต้นค่อนข้างยาวและไม่สะดวกนัก เราสามารถใช้สัญลักษณ์ F(x)|ba เพื่อให้สะดวกในการเขียนได้ ดังนี้
∫10x2dx=x33|10=133−033=13−0=13
∫10x2dx=13
ตัวอย่างที่ 2
จงหาค่าของ ∫20(3x2−3)dx
∫20(3x2−3)dx=[3x33−3x]20=[x3−3x]20=[23−3(2)]−[03−3(0)]=2−0=2
∫20(3x2−3)dx=2
ตัวอย่างที่ 3
จงหาค่าของ ∫1−1(x2+2x3)dx
∫1−1(x2+2x3)dx=∫1−1(x2+2x−3)dx=[x33+2x−2−2]1−1=[x33−1x2]1−1=[133−112]−[(−1)33−1(−1)2]=[13−1]−[−13−1]=23
∫1−1(x2+2x3)dx=23