การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานโดยใช้สูตร
การหาอนุพันธ์โดยใช้บทนิยามในรูปของลิมิตนั้นทำได้ค่อนข้างยุ่งยากและเสียเวลา จึงได้มีการสร้างสูตรสำหรับการหาอนุพันธ์ขึ้นมา และสูตรเหล่านี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต
สูตรที่ 1 ถ้า $f(x)=c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว แล้ว $f'(x)=0$
\begin{eqnarray*}
f'(x) & = & \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\
& = & \lim_{h\rightarrow0}\frac{c-c}{h}\\
& = & \lim_{h\rightarrow0}0\\
& = & 0
\end{eqnarray*}
ตัวอย่างการใช้สูตรที่ 1
กำหนดให้ $f(x)=3$ จงหา $f'(x)$
\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& 0
\end{eqnarray*}
สูตรที่ 2 ถ้า $f(x)=x$ แล้ว $f'(x)=1$
\begin{eqnarray*}
f'(x) & = & \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\
& = & \lim_{h\rightarrow0}\frac{x+h-x}{h}\\
& = & \lim_{h\rightarrow0}\frac{h}{h}\\
& = & \lim_{h\rightarrow0}1\\
& = & 1
\end{eqnarray*}
สูตรที่ 3 ถ้า $f(x)=x^n$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนจริง แล้ว $f'(x)=nx^{n-1}$
(ในกรณีที่ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก)
\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{\left[\binom{n}{0}x^{n}+\binom{n}{1}x^{n-1}h+\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+...+\binom{n}{n}h^{n}\right]-x^{n}}{h}\\ &&({\it\text{กระจายด้วยทฤษฎีบททวินาม}})\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{\require{cancel}\cancel{x^n}+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2+...+h^n-\cancel{x^n}}{h}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{\cancel{h}\left(nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+...+h^{n-1}\right)}{\cancel{h}}\\
&=& nx^{n-1}
\end{eqnarray*}
ตัวอย่างการใช้สูตรที่ 3
กำหนดให้ $f(x)=x^3$ จงหา $f'(x)$
\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& 5x^{5-1}\\
&=& 5x^4
\end{eqnarray*}
กำหนดให้ $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^3}$ จงหา $f'(x)$
\begin{eqnarray*}
f(x) &=& x^{-3}\\
f'(x) &=& (-3)x^{-3-1}\\
&=& -3x^{-4}\\
&=& -\frac{3}{x^4}
\end{eqnarray*}
กำหนดให้ $f(x)=\sqrt{x}$ จงหา $f'(x)$
\begin{eqnarray*}
f(x) &=& x^{\frac{1}{2}}\\
f'(x) &=& \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}\\
&=& \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\\
&=& \frac{1}{2\sqrt{x}}
\end{eqnarray*}
สูตรที่ 4 ถ้า $c$ เป็นค่าคงตัว และ $f$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ $x$ แล้ว
$(cf)'(x)=c(f'(x))$
ให้ $F(x)=cf(x)$
\begin{eqnarray*}
F'(x) &=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{cf(x+h)-cf(x)}{h}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}c\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)\\
&=& c\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\
&=& c(f'(x))
\end{eqnarray*}
ตัวอย่างการใช้สูตรที่ 4
กำหนดให้ $f(x)=5x^3$ จงหา $f'(x)$
ให้ $g(x)=x^3$ จะได้ $f(x)=5g(x)$
\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& (5g(x))'\\
&=& 5g'(x)\\
&=& 5(3x^2)\\
&=& 15x^2
\end{eqnarray*}
สูตรที่ 5 ถ้า $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ $x$ แล้ว
$(f\pm g)'(x)=f'(x)\pm g'(x)$
ให้ $F(x)=f(x)\pm g(x)$
\begin{eqnarray*}
F'(x) &=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{[f(x+h)\pm g(x+h)]-[f(x)\pm g(x)]}{h}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{[f(x+h)-f(x)]\pm [g(x+h)-g(x)]}{h}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \pm \lim_{h\rightarrow0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\
&=& f'(x) \pm g'(x)
\end{eqnarray*}
ตัวอย่างการใช้สูตรที่ 5
กำหนดให้ $f(x)=x^4+x^2$ จงหา $f'(x)$
\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& \frac{d}{dx}(x^4)+\frac{d}{dx}(x^2)\\
&=& 4x^3+2x
\end{eqnarray*}
ข้อสังเกต ถ้า $y=f(x)+g(x)-h(x)$ เมื่อ $f'(x), g'(x)$ และ $h'(x)$ หาค่าได้ แล้ว $y'=f'(x)+g'(x)-h'(x)$ นอกจากนี้ยังสามารถขยายจำนวนฟังก์ชันที่นำมาบวกหรือลบกันเป็นกี่ฟังก์ชันก็ได้
ตัวอย่างจากข้อสังเกต
กำหนดให้ $y=x^6+x^3-x^2+4$ จงหา $y'$
\begin{eqnarray*}
y' &=& \frac{d}{dx}(x^6)+\frac{d}{dx}(x^3)-\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(4)\\
&=& 6x^5+3x^2-2x+0\\
&=& 6x^5+3x^2-2x
\end{eqnarray*}
กำหนดให้ $y=5x^2-3x$ จงหา $y'$
\begin{eqnarray*}
y' &=& \frac{d}{dx}(5x^2)-\frac{d}{dx}(3x)\\
&=& 5\frac{d}{dx}(x^2)-3\frac{dx}{dx}\\
&=& 5(2x)-3\\
&=& 10x-3
\end{eqnarray*}
กำหนดให้ $f(x)=3x^4-2x^2+4x-8$ จงหา $f'(1)$
\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& \frac{d}{dx}(3x^4)-\frac{d}{dx}(2x^2)+\frac{d}{dx}(4x)-\frac{d}{dx}(8)\\
&=& 3\frac{d}{dx}(x^4)-2\frac{d}{dx}(x^2)+4\frac{dx}{dx}-0\\
&=& 3(4x^3)-2(2x)+4\\
&=& 12x^3-4x+4
\end{eqnarray*}
ดังนั้น $f'(1)=12(1^3)-4(1)+4=12$
กำหนดให้ $f(x)=-5x^2+4\sqrt{x}$ จงหา $f'(4)$
\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& \frac{d}{dx}(-5x^2)+\frac{d}{dx}(4\sqrt{x})\\
&=& -10x+4\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\\
&=& -10x+4\frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}})\\
&=& -10x+\cancelto{2}{4} \left ( \frac{1}{\cancel{2}} \right )x^{-\frac{1}{2}}\\
&=& -10x+\frac{2}{\sqrt{x}}
\end{eqnarray*}
ดังนั้น $\displaystyle f'(4)=-10(4)+\frac{2}{\sqrt{4}}=-40+\frac{\cancel{2}}{\cancel{2}}=-40+1=-39$