Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js
สูตรอนุพันธ์พื้นฐาน
(derivative fomula)

การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานโดยใช้สูตร

การหาอนุพันธ์โดยใช้บทนิยามในรูปของลิมิตนั้นทำได้ค่อนข้างยุ่งยากและเสียเวลา จึงได้มีการสร้างสูตรสำหรับการหาอนุพันธ์ขึ้นมา และสูตรเหล่านี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต

สูตรที่ 1 ถ้า f(x)=c เมื่อ c เป็นค่าคงตัว แล้ว f(x)=0

f(x)=limh0f(x+h)f(x)h=limh0cch=limh00=0

ตัวอย่างการใช้สูตรที่ 1

กำหนดให้ f(x)=3 จงหา f(x)

f(x)=0

สูตรที่ 2 ถ้า f(x)=x แล้ว f(x)=1

f(x)=limh0f(x+h)f(x)h=limh0x+hxh=limh0hh=limh01=1

สูตรที่ 3 ถ้า f(x)=xn เมื่อ n เป็นจำนวนจริง แล้ว f(x)=nxn1

(ในกรณีที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก)

f(x)=limh0f(x+h)f(x)h=limh0(x+h)nxnh=limh0[(n0)xn+(n1)xn1h+(n2)xn2h2+...+(nn)hn]xnh(กระจายด้วยทฤษฎีบททวินาม)=limh0xn+nxn1h+n(n1)2xn2h2+...+hnxnh=limh0h(nxn1+n(n1)2xn2h+...+hn1)h=nxn1

ตัวอย่างการใช้สูตรที่ 3

กำหนดให้ f(x)=x3 จงหา f(x)

f(x)=5x51=5x4


 

 กำหนดให้ f(x)=1x3 จงหา f(x)

 f(x)=x3f(x)=(3)x31=3x4=3x4


 

 กำหนดให้ f(x)=x จงหา f(x)

 f(x)=x12f(x)=12x121=12x12=12x

สูตรที่ 4 ถ้า c เป็นค่าคงตัว และ f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x แล้ว

(cf)(x)=c(f(x))

ให้ F(x)=cf(x)

F(x)=limh0F(x+h)F(x)h=limh0cf(x+h)cf(x)h=limh0c(f(x+h)f(x)h)=climh0f(x+h)f(x)h=c(f(x))

ตัวอย่างการใช้สูตรที่ 4 

กำหนดให้ f(x)=5x3 จงหา f(x)

 ให้ g(x)=x3 จะได้ f(x)=5g(x)

f(x)=(5g(x))=5g(x)=5(3x2)=15x2

สูตรที่ 5 ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x แล้ว

(f±g)(x)=f(x)±g(x)

ให้ F(x)=f(x)±g(x)

F(x)=limh0F(x+h)F(x)h=limh0[f(x+h)±g(x+h)][f(x)±g(x)]h=limh0[f(x+h)f(x)]±[g(x+h)g(x)]h=limh0f(x+h)f(x)h±limh0g(x+h)g(x)h=f(x)±g(x)

ตัวอย่างการใช้สูตรที่ 5

กำหนดให้ f(x)=x4+x2 จงหา f(x)

 f(x)=ddx(x4)+ddx(x2)=4x3+2x

ข้อสังเกต ถ้า y=f(x)+g(x)h(x) เมื่อ f(x),g(x) และ h(x) หาค่าได้ แล้ว y=f(x)+g(x)h(x) นอกจากนี้ยังสามารถขยายจำนวนฟังก์ชันที่นำมาบวกหรือลบกันเป็นกี่ฟังก์ชันก็ได้

ตัวอย่างจากข้อสังเกต 

กำหนดให้ y=x6+x3x2+4 จงหา y

 y=ddx(x6)+ddx(x3)ddx(x2)+ddx(4)=6x5+3x22x+0=6x5+3x22x


 

 กำหนดให้ y=5x23x จงหา y

 y=ddx(5x2)ddx(3x)=5ddx(x2)3dxdx=5(2x)3=10x3


 

 กำหนดให้ f(x)=3x42x2+4x8 จงหา f(1)

f(x)=ddx(3x4)ddx(2x2)+ddx(4x)ddx(8)=3ddx(x4)2ddx(x2)+4dxdx0=3(4x3)2(2x)+4=12x34x+4

 ดังนั้น f(1)=12(13)4(1)+4=12


 

 กำหนดให้ f(x)=5x2+4x จงหา f(4)

f(x)=ddx(5x2)+ddx(4x)=10x+4ddx(x)=10x+4ddx(x12)=10x+42(12)x12=10x+2x

ดังนั้น f(4)=10(4)+24=40+22=40+1=39 

 

คำคล้าย : สูตรอนุพันธ์พื้นฐาน
Under Growing
"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า
คอร์สแนะนำ
หนังสือแนะนำ
รายละเอียดการใช้งานคุกกี้

เพื่อประโยชน์และประสบการณ์ที่ดีในการใช้งานเว็บไซต์ของ บริษัท โอเพ่นดูเรียน จํากัด (“โอเพ่นดูเรียน”) โอเพ่นดูเรียนจึงใช้คุกกี้บนเว็บไซต์ของบริษัท ทั้งนี้ คุณสามารถศึกษาเพิ่มเติม เกี่ยวกับนโยบายคุกกี้ของโอเพ่นดูเรียนได้ที่ นโยบายคุกกี้ และคุณสามารถปฏิเสธคุกกี้ได้