การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานโดยใช้สูตร
การหาอนุพันธ์โดยใช้บทนิยามในรูปของลิมิตนั้นทำได้ค่อนข้างยุ่งยากและเสียเวลา จึงได้มีการสร้างสูตรสำหรับการหาอนุพันธ์ขึ้นมา และสูตรเหล่านี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต
สูตรที่ 1 ถ้า f(x)=c เมื่อ c เป็นค่าคงตัว แล้ว f′(x)=0
f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0c−ch=limh→00=0
ตัวอย่างการใช้สูตรที่ 1
กำหนดให้ f(x)=3 จงหา f′(x)
f′(x)=0
สูตรที่ 2 ถ้า f(x)=x แล้ว f′(x)=1
f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0x+h−xh=limh→0hh=limh→01=1
สูตรที่ 3 ถ้า f(x)=xn เมื่อ n เป็นจำนวนจริง แล้ว f′(x)=nxn−1
(ในกรณีที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก)
f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0(x+h)n−xnh=limh→0[(n0)xn+(n1)xn−1h+(n2)xn−2h2+...+(nn)hn]−xnh(กระจายด้วยทฤษฎีบททวินาม)=limh→0xn+nxn−1h+n(n−1)2xn−2h2+...+hn−xnh=limh→0h(nxn−1+n(n−1)2xn−2h+...+hn−1)h=nxn−1
ตัวอย่างการใช้สูตรที่ 3
กำหนดให้ f(x)=x3 จงหา f′(x)
f′(x)=5x5−1=5x4
กำหนดให้ f(x)=1x3 จงหา f′(x)
f(x)=x−3f′(x)=(−3)x−3−1=−3x−4=−3x4
กำหนดให้ f(x)=√x จงหา f′(x)
f(x)=x12f′(x)=12x12−1=12x−12=12√x
สูตรที่ 4 ถ้า c เป็นค่าคงตัว และ f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x แล้ว
(cf)′(x)=c(f′(x))
ให้ F(x)=cf(x)
F′(x)=limh→0F(x+h)−F(x)h=limh→0cf(x+h)−cf(x)h=limh→0c(f(x+h)−f(x)h)=climh→0f(x+h)−f(x)h=c(f′(x))
ตัวอย่างการใช้สูตรที่ 4
กำหนดให้ f(x)=5x3 จงหา f′(x)
ให้ g(x)=x3 จะได้ f(x)=5g(x)
f′(x)=(5g(x))′=5g′(x)=5(3x2)=15x2
สูตรที่ 5 ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x แล้ว
(f±g)′(x)=f′(x)±g′(x)
ให้ F(x)=f(x)±g(x)
F′(x)=limh→0F(x+h)−F(x)h=limh→0[f(x+h)±g(x+h)]−[f(x)±g(x)]h=limh→0[f(x+h)−f(x)]±[g(x+h)−g(x)]h=limh→0f(x+h)−f(x)h±limh→0g(x+h)−g(x)h=f′(x)±g′(x)
ตัวอย่างการใช้สูตรที่ 5
กำหนดให้ f(x)=x4+x2 จงหา f′(x)
f′(x)=ddx(x4)+ddx(x2)=4x3+2x
ข้อสังเกต ถ้า y=f(x)+g(x)−h(x) เมื่อ f′(x),g′(x) และ h′(x) หาค่าได้ แล้ว y′=f′(x)+g′(x)−h′(x) นอกจากนี้ยังสามารถขยายจำนวนฟังก์ชันที่นำมาบวกหรือลบกันเป็นกี่ฟังก์ชันก็ได้
ตัวอย่างจากข้อสังเกต
กำหนดให้ y=x6+x3−x2+4 จงหา y′
y′=ddx(x6)+ddx(x3)−ddx(x2)+ddx(4)=6x5+3x2−2x+0=6x5+3x2−2x
กำหนดให้ y=5x2−3x จงหา y′
y′=ddx(5x2)−ddx(3x)=5ddx(x2)−3dxdx=5(2x)−3=10x−3
กำหนดให้ f(x)=3x4−2x2+4x−8 จงหา f′(1)
f′(x)=ddx(3x4)−ddx(2x2)+ddx(4x)−ddx(8)=3ddx(x4)−2ddx(x2)+4dxdx−0=3(4x3)−2(2x)+4=12x3−4x+4
ดังนั้น f′(1)=12(13)−4(1)+4=12
กำหนดให้ f(x)=−5x2+4√x จงหา f′(4)
f′(x)=ddx(−5x2)+ddx(4√x)=−10x+4ddx(√x)=−10x+4ddx(x12)=−10x+42(12)x−12=−10x+2√x
ดังนั้น f′(4)=−10(4)+2√4=−40+22=−40+1=−39