ดีเทอร์มิแนนต์คืออะไร
ให้ A=[aij]n×n ซึ่งเราจะหา A−1 จากสูตร
A−1=1detAadj(A)
เมื่อ detA≠0
ดังนั้น เราจึงสรุปได้ว่าถ้า
detA{≠0 จะได้ว่าA−1หาค่าได้=0จะได้ว่าA−1 หาค่าไม่ได้
ส่วนในเมทริกซ์นั้นสมาชิกที่ไม่มีเอกลักษณ์การคูณ อาจมีได้หลายตัว (ทุก ๆ ตัวที่มีค่าดีเทอร์มีนัลต์เป็น 0)
เช่น [0000],[1122],[4386] ล้วนแต่ไม่มีเอกลักษณ์การคูณทั้งสิ้น
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2×2
ให้ A=[abcd] ดีเทอร์มิแนนต์ของ A ซึ่งเขียนแทนด้วย detA และ |A| สามารถหาได้ดังนี้
detA=|A|=ad−cb ดังรูป
ตัวอย่างของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2×2
ให้ A=[1234] ดังนั้น
detA=|1234|=(1)(4)−(3)(2)=−2
ดีเทอร์มิแนนต์ของเทริกซ์ขนาด 3×3 แบบต่อคอลัมน์
ให้ A=[abcdefghi] ดีเทอร์มิแนนต์ของ A สามารถหาได้ดังนี้
detA=(aei+bfg+cdh)−(gec+hfa+idb) ดังรูป
หรืออาจสรุปเป็นคำพูดง่าย ๆ คือ ผลรวมคูณทแยงลง - ผลรวมคูณทแยงขึ้น
ตัวอย่างของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3×3
ให้ A=[123456789] ดังนั้น
detA=(1)(5)(9)+(2)(6)(7)+(3)(4)(8)−(7)(5)(3)−(8)(6)(1)−(9)(4)(2)=(45+84+96)−(105+48+72)=0
ไมเนอร์และโคแฟกเตอร์
ให้ A=[aij]n×n เมื่อ n≥2
- ไมเนอร์ของ aij คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้จากการตัดแถวที่ i และหลักที่ j ของเมทริกซ์ A ออก เขียนแทนด้วย Mij(A)
- โคแฟกเตอร์ของ aij คือ (−1)i+jMij(A) เขียนแทนด้วย Cij(A)=(−1)i+jMij(A)
ตัวอย่างของไมเนอร์และโคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์
ให้ A=[123456789] จากรูป
ดังนั้น
M11(A)=det[5689]=(5⋅9−6⋅8)=45−48=3
ส่วน C11(A)=(−1)1+1M11(A)=3
วิธีการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์โดยกระจายโคแฟกเตอร์
ให้ A=[aij]n×n เมื่อ n≥2
1. เลือกแถวหรือหลักของเมทริกซ์
การเลือกแถวหรือหลักแนะนำให้เลือก แถวหรือหลักที่มี 0 ปรากฏอยู่เยอะ ๆ เพื่อง่ายต่อการคำนวณ
2. ถ้าเราเลือกแถวที่ i จะได้ว่า det(A)=ai1Ci1(A)+ai2Ci2(A)+…+ainCin(A)
3. ถ้าเราเลือกหลักที่ j จะได้ว่า det(A)=a1jC1j(A)+a2jC2j(A)+…+anjCnj(A)
ตัวอย่างการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์โดยกระจายโคแฟกเตอร์
ให้ A=[023456080]
ถ้าเลือกหลักที่ 1 (เพราะ 0 เยอะ) จะได้ว่า
detA=0⋅C11(A)+4⋅C21(A)+0⋅C31(A)=0+4⋅(−1)2+1⋅det[2380]+0=(−4)⋅(−24)=96
ถ้าเลือกแถวที่ 3 (เพราะ 0 เยอะ) จะได้ว่า
detA=0⋅C31(A)+8(−1)3+2⋅C32(A)+0⋅C33(A)=0+8⋅(−1)3+2⋅det[0436]+0=(−8)⋅(−12)=96
สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์
ให้ A,B และ C เป็นเมทริกซ์มีมิติ n×n และ k เป็นจำนวนจริงใด ๆ จะได้ว่า
1. det(At)=detA
2. det(kA)=kndet(A)
3. det(AB)=(detA)⋅(detB)
4. det(Am)=(detA)m
5. det(A−1)=1detA เมื่อ detA≠0
6. det[0]n×n=0 เมื่อ [0]n×n คือเมทริกซ์ศูนย์
7. detIn=1 เมื่อ In คือเมทริกซ์เอกลักษณ์
8. detD=d11⋅d22…⋅dnn เมื่อ D=[dij]n×n คือเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนหรือสามเหลี่ยมล่าง
จะสังเกตว่า
1. ดีเทอร์มิแนนต์กระจายการคูณได้ det(AB)=det(A)det(B) แต่
det(A+B) อาจไม่เท่ากับ (detA)+(detB)
2. det(A) เป็นลบได้แม้บางครั้งเราจะใช้สัญลักษณ์ |A| อย่าจำสับสนกับค่าสัมบูรณ์
3. จากสมบัติ det(kA)=kndet(A) เวลาเราดึงค่าคงที่ออกจากดีเทอร์มิแนนต์ อย่าลืมยกกำลังมิติ
4. สูตรของดีเทอร์มิแนนต์ของแอดจอยท์ คือ
det(adjA)=(detA)n−1