ดีเทอร์มิแนนต์คืออะไร
ให้ $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ ซึ่งเราจะหา $A^{-1}$ จากสูตร
$$A^{-1}=\displaystyle\frac{1}{\det A}\operatorname{adj} (A)$$
เมื่อ $\det A\neq 0$
ดังนั้น เราจึงสรุปได้ว่าถ้า
$$\det A\quad\begin{cases} \neq 0 \text{ จะได้ว่า} A^{-1} \text{หาค่าได้}\\
=0 \text{จะได้ว่า} A^{-1} \text{ หาค่าไม่ได้}\end{cases}$$
ส่วนในเมทริกซ์นั้นสมาชิกที่ไม่มีเอกลักษณ์การคูณ อาจมีได้หลายตัว (ทุก ๆ ตัวที่มีค่าดีเทอร์มีนัลต์เป็น $0$)
เช่น $\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1&1\\2&2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}4&3\\8&6\end{bmatrix}$ ล้วนแต่ไม่มีเอกลักษณ์การคูณทั้งสิ้น
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด $2\times2$
ให้ $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ ดีเทอร์มิแนนต์ของ $A$ ซึ่งเขียนแทนด้วย $\det A$ และ $|A|$ สามารถหาได้ดังนี้
$\det A=|A|= ad-cb$ ดังรูป
ตัวอย่างของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด $2\times2$
ให้ $A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$ ดังนั้น
$\det A=\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}= (1)(4)-(3)(2)=-2$
ดีเทอร์มิแนนต์ของเทริกซ์ขนาด $3\times3$ แบบต่อคอลัมน์
ให้ $A=\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}$ ดีเทอร์มิแนนต์ของ $A$ สามารถหาได้ดังนี้
$\det A=(aei+bfg+cdh)-(gec+hfa+idb)$ ดังรูป
หรืออาจสรุปเป็นคำพูดง่าย ๆ คือ ผลรวมคูณทแยงลง - ผลรวมคูณทแยงขึ้น
ตัวอย่างของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด $3\times3$
ให้ $A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$ ดังนั้น
$\begin{eqnarray}\det A&=&(1)(5)(9)+(2)(6)(7)+(3)(4)(8)-(7)(5)(3)-(8)(6)(1)-(9)(4)(2)\\&=&(45+84+96)-(105+48+72)\\&=&0\end{eqnarray}$
ไมเนอร์และโคแฟกเตอร์
ให้ $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ เมื่อ $n\geq 2$
- ไมเนอร์ของ $a_{ij}$ คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้จากการตัดแถวที่ $i$ และหลักที่ $j$ ของเมทริกซ์ $A$ ออก เขียนแทนด้วย $M_{ij}(A)$
- โคแฟกเตอร์ของ $a_{ij}$ คือ $(-1)^{i+j}M_{ij}(A)$ เขียนแทนด้วย $C_{ij}(A)=(-1)^{i+j}M_{ij}(A)$
ตัวอย่างของไมเนอร์และโคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์
ให้ $A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$ จากรูป
ดังนั้น
$$\begin{eqnarray}M_{11}(A)&=&\det\begin{bmatrix}5&6\\8&9\end{bmatrix}\\
&=&(5\cdot 9- 6\cdot 8)\\
&=&45-48\\
&=&3
\end{eqnarray}$$
ส่วน $C_{11}(A)=(-1)^{1+1}M_{11}(A)=3$
วิธีการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์โดยกระจายโคแฟกเตอร์
ให้ $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ เมื่อ $n\geq 2$
1. เลือกแถวหรือหลักของเมทริกซ์
การเลือกแถวหรือหลักแนะนำให้เลือก แถวหรือหลักที่มี $0$ ปรากฏอยู่เยอะ ๆ เพื่อง่ายต่อการคำนวณ
2. ถ้าเราเลือกแถวที่ $i$ จะได้ว่า $\det (A)= a_{i1}C_{i1}(A)+a_{i2}C_{i2}(A)+\ldots+a_{in}C_{in}(A)$
3. ถ้าเราเลือกหลักที่ $j$ จะได้ว่า $\det (A)= a_{1j}C_{1j}(A)+a_{2j}C_{2j}(A)+\ldots+a_{nj}C_{nj}(A)$
ตัวอย่างการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์โดยกระจายโคแฟกเตอร์
ให้ $A=\begin{bmatrix}0&2&3\\4&5&6\\0&8&0\end{bmatrix}$
ถ้าเลือกหลักที่ $1$ (เพราะ $0$ เยอะ) จะได้ว่า
$$\begin{eqnarray}\det A &=& 0\cdot C_{11}(A)+4\cdot C_{21}(A)+0\cdot C_{31}(A)\\
&=&0+4\cdot (-1)^{2+1}\cdot\det\begin{bmatrix}2&3\\8&0\end{bmatrix} +0 \\
&=&(-4)\cdot(-24)\\
&=&96\end{eqnarray}$$
ถ้าเลือกแถวที่ $3$ (เพราะ $0$ เยอะ) จะได้ว่า
$$\begin{eqnarray}\det A &=& 0\cdot C_{31}(A)+8(-1)^{3+2}\cdot C_{32}(A)+0\cdot C_{33}(A)\\
&=&0+8\cdot(-1)^{3+2}\cdot \det\begin{bmatrix}0&4\\3&6\end{bmatrix} +0 \\
&=&(-8)\cdot (-12)\\
&=&96\end{eqnarray}$$
สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์
ให้ $A, B$ และ $C$ เป็นเมทริกซ์มีมิติ $n\times n$ และ $k$ เป็นจำนวนจริงใด ๆ จะได้ว่า
1. $\det(A^t)=\det A$
2. $\det(kA)=k^n\det(A)$
3. $\det(AB)=\left(\det A\right) \cdot \left(\det B\right)$
4. $\det\left(A^m\right)=\left(\det A\right)^m$
5. $\det(A^{-1})=\displaystyle\frac{1}{\det A}$ เมื่อ $\det A\neq 0$
6. $\det [0]_{n\times n}=0$ เมื่อ $[0]_{n\times n}$ คือเมทริกซ์ศูนย์
7. $\det I_n=1$ เมื่อ $I_n$ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์
8. $\det D=d_{11}\cdot d_{22}\ldots \cdot d_{nn}$ เมื่อ $D=[d_{ij}]_{n\times n}$ คือเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนหรือสามเหลี่ยมล่าง
จะสังเกตว่า
1. ดีเทอร์มิแนนต์กระจายการคูณได้ $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ แต่
$$\det(A+B)\text{ อาจไม่เท่ากับ }\left(\det A\right)+\left(\det B\right)$$ และ $$\det(A-B)\text{ อาจไม่เท่ากับ }\left(\det A\right) - \left(\det B\right)$$ ดีเทอร์มิแนนต์กระจายการบวกและการลบไม่ได้นะ
2. $\det(A)$ เป็นลบได้แม้บางครั้งเราจะใช้สัญลักษณ์ $|A|$ อย่าจำสับสนกับค่าสัมบูรณ์
3. จากสมบัติ $\det(kA)=k^n\det(A)$ เวลาเราดึงค่าคงที่ออกจากดีเทอร์มิแนนต์ อย่าลืมยกกำลังมิติ
4. สูตรของดีเทอร์มิแนนต์ของแอดจอยท์ คือ
$$\det\left(\operatorname{adj}A\right)=\left(\det A\right)^{n-1}$$