Processing math: 100%
ดีเทอร์มิแนนต์และสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์
(determinant and property)

ดีเทอร์มิแนนต์คืออะไร

ให้ A=[aij]n×n ซึ่งเราจะหา A1 จากสูตร

A1=1detAadj(A)


เมื่อ detA0

ดังนั้น เราจึงสรุปได้ว่าถ้า

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จตุรัสใดๆ คือ ตัวที่ตัดสินว่าเมทริกซ์นั้นๆ จะมีอินเวอร์สการคูณหรือไม่
detA{0 จะได้ว่าA1หาค่าได้=0จะได้ว่าA1 หาค่าไม่ได้
ในจำนวนจริงนั้น 0 เป็นเพียงค่าเดียวที่ไม่มี เอกลักษณ์การคูณ ( ไม่มี   01)
ส่วนในเมทริกซ์นั้นสมาชิกที่ไม่มีเอกลักษณ์การคูณ อาจมีได้หลายตัว (ทุก ๆ ตัวที่มีค่าดีเทอร์มีนัลต์เป็น 0

เช่น [0000],[1122],[4386] ล้วนแต่ไม่มีเอกลักษณ์การคูณทั้งสิ้น

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2×2

ให้ A=[abcd] ดีเทอร์มิแนนต์ของ A ซึ่งเขียนแทนด้วย detA และ |A| สามารถหาได้ดังนี้

detA=|A|=adcb  ดังรูป

      

ตัวอย่างของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2×2

ให้ A=[1234] ดังนั้น


detA=|1234|=(1)(4)(3)(2)=2


 

ดีเทอร์มิแนนต์ของเทริกซ์ขนาด 3×3 แบบต่อคอลัมน์

ให้ A=[abcdefghi] ดีเทอร์มิแนนต์ของ A สามารถหาได้ดังนี้

detA=(aei+bfg+cdh)(gec+hfa+idb)  ดังรูป

หรืออาจสรุปเป็นคำพูดง่าย ๆ คือ ผลรวมคูณทแยงลง - ผลรวมคูณทแยงขึ้น

ตัวอย่างของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3×3

ให้ A=[123456789] ดังนั้น



detA=(1)(5)(9)+(2)(6)(7)+(3)(4)(8)(7)(5)(3)(8)(6)(1)(9)(4)(2)=(45+84+96)(105+48+72)=0

ไมเนอร์และโคแฟกเตอร์

ให้ A=[aij]n×n เมื่อ n2 

  • ไมเนอร์ของ aij คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้จากการตัดแถวที่ i และหลักที่ j ของเมทริกซ์ A ออก เขียนแทนด้วย Mij(A)
     
  • โคแฟกเตอร์ของ aij คือ (1)i+jMij(A)  เขียนแทนด้วย Cij(A)=(1)i+jMij(A)

ตัวอย่างของไมเนอร์และโคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์

ให้ A=[123456789]  จากรูป

ดังนั้น

M11(A)=det[5689]=(5968)=4548=3

ส่วน C11(A)=(1)1+1M11(A)=3
 

วิธีการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์โดยกระจายโคแฟกเตอร์

ให้ A=[aij]n×n เมื่อ n2 

1. เลือกแถวหรือหลักของเมทริกซ์

การเลือกแถวหรือหลักแนะนำให้เลือก แถวหรือหลักที่มี 0 ปรากฏอยู่เยอะ ๆ เพื่อง่ายต่อการคำนวณ

2.  ถ้าเราเลือกแถวที่ i จะได้ว่า det(A)=ai1Ci1(A)+ai2Ci2(A)++ainCin(A)

3.  ถ้าเราเลือกหลักที่ j จะได้ว่า det(A)=a1jC1j(A)+a2jC2j(A)++anjCnj(A)

ตัวอย่างการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์โดยกระจายโคแฟกเตอร์

ให้ A=[023456080] 

ถ้าเลือกหลักที่ 1 (เพราะ 0 เยอะ) จะได้ว่า

              

detA=0C11(A)+4C21(A)+0C31(A)=0+4(1)2+1det[2380]+0=(4)(24)=96

ถ้าเลือกแถวที่ 3 (เพราะ 0 เยอะ) จะได้ว่า

               

detA=0C31(A)+8(1)3+2C32(A)+0C33(A)=0+8(1)3+2det[0436]+0=(8)(12)=96

สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

ให้ A,B และ C เป็นเมทริกซ์มีมิติ n×n และ k เป็นจำนวนจริงใด ๆ จะได้ว่า

1. det(At)=detA

2. det(kA)=kndet(A)

3. det(AB)=(detA)(detB)

4. det(Am)=(detA)m

5. det(A1)=1detA เมื่อ  detA0

6. det[0]n×n=0 เมื่อ [0]n×n คือเมทริกซ์ศูนย์

7. detIn=1 เมื่อ In คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

8. detD=d11d22dnn  เมื่อ D=[dij]n×n คือเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนหรือสามเหลี่ยมล่าง

จะสังเกตว่า
1. ดีเทอร์มิแนนต์กระจายการคูณได้ det(AB)=det(A)det(B) แต่ 

           det(A+B) อาจไม่เท่ากับ (detA)+(detB)

   และ  det(AB) อาจไม่เท่ากับ (detA)(detB)
ดีเทอร์มิแนนต์กระจายการบวกและการลบไม่ได้นะ

2. det(A) เป็นลบได้แม้บางครั้งเราจะใช้สัญลักษณ์ |A| อย่าจำสับสนกับค่าสัมบูรณ์

3.  จากสมบัติ det(kA)=kndet(A) เวลาเราดึงค่าคงที่ออกจากดีเทอร์มิแนนต์ อย่าลืมยกกำลังมิติ

4.  สูตรของดีเทอร์มิแนนต์ของแอดจอยท์ คือ

det(adjA)=(detA)n1

 

 

คำคล้าย : ขั้นตอนการหาดีเทอร์มิแนนต์และสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์
Under Growing
"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า
คอร์สแนะนำ
หนังสือแนะนำ
รายละเอียดการใช้งานคุกกี้

เพื่อประโยชน์และประสบการณ์ที่ดีในการใช้งานเว็บไซต์ของ บริษัท โอเพ่นดูเรียน จํากัด (“โอเพ่นดูเรียน”) โอเพ่นดูเรียนจึงใช้คุกกี้บนเว็บไซต์ของบริษัท ทั้งนี้ คุณสามารถศึกษาเพิ่มเติม เกี่ยวกับนโยบายคุกกี้ของโอเพ่นดูเรียนได้ที่ นโยบายคุกกี้ และคุณสามารถปฏิเสธคุกกี้ได้