ลำดับเรขาคณิต
ลำดับเรขาคณิตคือ ลำดับที่ พจน์ขวา(an+1)พจน์ซ้าย(an)=r เป็นค่าคงตัวที่เท่ากันทุกคู่
นั่นคือ an+1an=r เสมอ
ถ้ากำหนดให้ a1,a2,a3,…,an,an+1,… เป็นลำดับเรขาคณิตแล้ว
a2a1=a3a2=⋯=an+1an=r
ดังนั้นลำดับเรขาคณิต a1,a2,a3,…,an,an+1,… จะเขียนได้อีกแบบเป็น
a1,a1r,a1r2,…,a1rn−1,a1rn,…
สูตรหาพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต คือ
an=a1rn−1
ตัวอย่างโจทย์ลำดับเรขาคณิต
หาสี่พจน์แรกของลําดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเป็นบวก และ a1+a2=8,a3+a4=72
จากสูตร an=a1rn−1 เราทราบค่า a2=a1r,a3=a1r2 และ a4=a1r3
ดังนั้น
จาก (1) จะได้a1(1+r)=8⋯(3)
และจาก (2) จะได้a1r2(1+r)=72⋯(4)
เมื่อเรานำ (4) หารด้วย (3) จะได้
a1r2(1+r)a1(1+r)=r2=9
ดังนั้น r=3,−3 แต่โจทย์บอกว่า r เป็นบวก เราจึงได้ว่า r=3
นำค่า r=3 ไปแทนกลับในสมการ (3) เพื่อหาค่า a1 จะได้
a1=84=2
เมื่อเรารู้ค่า a1=2 และ r=3 เราจึงสามารถหาค่าของ
a1=2,a2=2×3=6,a3=2×32=18,a4=2×33=54
อนุกรมเรขาคณิต
อนุกรมเรขาคณิตคือ อนุกรมที่เกิดจากการนำลำดับเรขาคณิตมาบวกกัน
ให้ a1,a1r,a1r2,…,a1rn−1,… เป็นลำดับเรขาคณิต
จะได้อนุกรมเรขาคณิตดังนี้
S1=a1S2=a1+a1r=a1(1+r)S3=a1+a1r+a1r2=a1(1+r+r2)⋮Sn=a1+a1r+a1r2+…+a1rn−1=a1(1−rn)1−r
สูตรการหาผลรวม n พจน์ของอนุกรมเรขาคณิต คือ
Sn=a1(1−rn)1−r เมื่อ r≠1
ตัวอย่างโจทย์อนุกรมเรขาคณิต
อนุกรมเรขาคณิตมีค่า a3=80 และ S3=65 จงหาพจน์แรก และอัตราส่วนร่วม
จากสูตรของลำดับเรขาคณิต an=a1rn−1 และ สูตรของอนุกรมเรขาคณิต Sn=a1(1−r3)1−r
ดังนั้นเราจะได้
65=s3=a1(1−r3)1−r=a1(1+r+r2)⋯(6)
(1+r+r2)r2=a1(1+r+r2)a1r2=6580=1316
นั่นคือเราจะได้สมการ
3r2+16r+16=(3r+4)(r+4)=0
ดังนั้น r=−4 หรือ −43
เมื่อนำค่า r ไปแทนค่าใน (5)
เมื่อ r=−4 จะได้ a1=5
เมื่อ r=−43 จะได้ a1=45
อนุกรมอนันต์ในลักษณะของเรขาคณิต
ถ้าเราต้องการหาค่า S∞=limn→∞Sn=a1+a1r+a1r2+…+a1rn+… เมื่อ |r|<1 เราสามารถใช้สูตร
S∞=limn→∞Sn=a11−r
ดังนั้น S∞=a11−r
ขอย้ำว่า S∞=a11−r เมื่อ |r|<1 เท่านั้นนะ
ตัวอย่างโจทย์อนุกรมเรขาคณิตอนันต์
จงหาค่าของอนุกรมเรขาคณิตต่อไปนี้ 12+16+118+…+32×3n+…
จากโจทย์เราได้ a1=12 และจะได้ค่าของ r=16÷12=13
นั่นคือ |r|=13<1 เราจึงใช้สูตร S∞=a11−r ได้นะครับ
เมื่อแทนค่าในสูตรเราจะได้
12+16+118+…+32×3n+…=(121−13)=12×32=34