Processing math: 100%
ลำดับและอนุกรมเรขาคณิต, geometric sequence and series
(geometric progression)

ลำดับเรขาคณิต

ลำดับเรขาคณิตคือ ลำดับที่   พจน์ขวา(an+1)พจน์ซ้าย(an)=r เป็นค่าคงตัวที่เท่ากันทุกคู่

นั่นคือ an+1an=r เสมอ

ถ้ากำหนดให้ a1,a2,a3,,an,an+1, เป็นลำดับเรขาคณิตแล้ว

a2a1=a3a2==an+1an=r

ดังนั้นลำดับเรขาคณิต a1,a2,a3,,an,an+1,  จะเขียนได้อีกแบบเป็น

a1,a1r,a1r2,,a1rn1,a1rn,

สูตรหาพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต คือ

an=a1rn1

ตัวอย่างโจทย์ลำดับเรขาคณิต  

หาสี่พจน์แรกของลําดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเป็นบวก และ a1+a2=8,a3+a4=72

จากสูตร an=a1rn1 เราทราบค่า a2=a1r,a3=a1r2 และ a4=a1r3

ดังนั้น

a1+a2=a1+a1r=8(1)

a3+a4=a1r2+a1r3=72(2)

จาก (1) จะได้a1(1+r)=8(3)

และจาก (2) จะได้a1r2(1+r)=72(4)

เมื่อเรานำ (4) หารด้วย (3) จะได้

a1r2(1+r)a1(1+r)=r2=9

ดังนั้น r=3,3 แต่โจทย์บอกว่า r เป็นบวก   เราจึงได้ว่า r=3

นำค่า r=3 ไปแทนกลับในสมการ  (3)  เพื่อหาค่า a1 จะได้

a1=84=2

เมื่อเรารู้ค่า a1=2 และ r=3 เราจึงสามารถหาค่าของ

a1=2,a2=2×3=6,a3=2×32=18,a4=2×33=54

อนุกรมเรขาคณิต

อนุกรมเรขาคณิตคือ อนุกรมที่เกิดจากการนำลำดับเรขาคณิตมาบวกกัน

ให้ a1,a1r,a1r2,,a1rn1, เป็นลำดับเรขาคณิต

จะได้อนุกรมเรขาคณิตดังนี้

S1=a1S2=a1+a1r=a1(1+r)S3=a1+a1r+a1r2=a1(1+r+r2)Sn=a1+a1r+a1r2++a1rn1=a1(1rn)1r

สูตรการหาผลรวม n พจน์ของอนุกรมเรขาคณิต คือ

Sn=a1(1rn)1r เมื่อ r1

ตัวอย่างโจทย์อนุกรมเรขาคณิต 

อนุกรมเรขาคณิตมีค่า a3=80  และ  S3=65  จงหาพจน์แรก และอัตราส่วนร่วม

จากสูตรของลำดับเรขาคณิต an=a1rn1 และ สูตรของอนุกรมเรขาคณิต Sn=a1(1r3)1r
ดังนั้นเราจะได้

80=a3=a1r2(5)

65=s3=a1(1r3)1r=a1(1+r+r2)(6)

นำ  (6) หารด้วย  (5)  จะได้

(1+r+r2)r2=a1(1+r+r2)a1r2=6580=1316

นั่นคือเราจะได้สมการ

3r2+16r+16=(3r+4)(r+4)=0

ดังนั้น r=4   หรือ   43

เมื่อนำค่า r ไปแทนค่าใน (5)

เมื่อ r=4  จะได้  a1=5

เมื่อ r=43  จะได้  a1=45

อนุกรมอนันต์ในลักษณะของเรขาคณิต

ถ้าเราต้องการหาค่า S=limnSn=a1+a1r+a1r2++a1rn+ เมื่อ |r|<1 เราสามารถใช้สูตร

S=limnSn=a11r

ดังนั้น S=a11r

ขอย้ำว่า S=a11r เมื่อ |r|<1 เท่านั้นนะ

ตัวอย่างโจทย์อนุกรมเรขาคณิตอนันต์

จงหาค่าของอนุกรมเรขาคณิตต่อไปนี้ 12+16+118++32×3n+

จากโจทย์เราได้ a1=12 และจะได้ค่าของ r=16÷12=13
 นั่นคือ |r|=13<1 เราจึงใช้สูตร S=a11r ได้นะครับ

เมื่อแทนค่าในสูตรเราจะได้

12+16+118++32×3n+=(12113)=12×32=34

คำคล้าย : ลำดับและอนุกรมเรขาคณิต, geometric sequence and series
Under Growing
"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า
คอร์สแนะนำ
หนังสือแนะนำ
รายละเอียดการใช้งานคุกกี้

เพื่อประโยชน์และประสบการณ์ที่ดีในการใช้งานเว็บไซต์ของ บริษัท โอเพ่นดูเรียน จํากัด (“โอเพ่นดูเรียน”) โอเพ่นดูเรียนจึงใช้คุกกี้บนเว็บไซต์ของบริษัท ทั้งนี้ คุณสามารถศึกษาเพิ่มเติม เกี่ยวกับนโยบายคุกกี้ของโอเพ่นดูเรียนได้ที่ นโยบายคุกกี้ และคุณสามารถปฏิเสธคุกกี้ได้