อนุพันธ์อันดับสูง

อนุพันธ์อันดับสูง

(high order derivative)

ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ผ่านมา จะพบว่า $f'(x)$ ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของ $f(x)$ นั้นยังคงเป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ $x$ นั่นหมายความว่าเราสามารถหาอนุพันธ์ของ $f'(x)$ ได้อีก ซึ่งเราเรียกอนุพันธ์ของ $f'(x)$ ที่ $x$ ว่า อนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ $f$ เขียนแทนด้วย $f''(x)$ ดังนิยามต่อไปนี้

บทนิยาม: ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ และ $f'(x)$ เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f$ ที่ $x$ ซึ่งสามารถหาอนุพันธ์ได้ จะเรียกอนุพันธ์ของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f$ ที่ $x$ หรืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f'$ ที่ $x$ ว่า อนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ $f$ ที่ $x$ และเขียนแทนด้วย $f''(x)$

นอกจากนี้ยังมีสัญลักษณ์อื่นที่ใช้แทนอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ $f$ ที่ $x$ อีก เช่น $\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}, \frac{d^2}{dx^2}f(x)$ และ $y''$ เป็นต้น

ตัวอย่างการหาอนุพันธ์อันดับที่ 2

ตัวอย่างที่ 1

กำหนด $f(x)=5x^3+6x^2+2x-3$ จงหา $f''(x)$

$\begin{eqnarray*} f'(x) &=& 5(3x^2)+6(2x)+2-0\\ &=& 15x^2+12x+2 \end{eqnarray*}$

จะได้ $f'(x)=15x^2+12x+2$

$\begin{eqnarray*} f''(x) &=& 15(2x)+12+0\\ &=& 30x+12 \end{eqnarray*}$

$f''(x)=30x+12$

ตัวอย่างที่ 2

กำหนด $\displaystyle f(x)=x^2+2-\frac{2}{x}$ จงหา $f''(x)$

$\displaystyle f(x)=x^2+2-2x^{-1}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) &=& 2x+0-2(-1)x^{-2}\\ &=& 2x+\frac{2}{x^2} \end{eqnarray*}$

จะได้ $f'(x)=2x+\frac{2}{x^2}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) &=& 2+(-2)(2x^{-3})\\ &=& 2-\frac{4}{x^3} \end{eqnarray*}$

$\displaystyle f''(x)=2-\frac{4}{x^3}$

ตัวอย่างที่ 3

กำหนด $f(x)=(x^4-2)^5$ จงหา $f''(1)$

ข้อนี้ต้องใช้กฎลูกโซ่ หรือการดิฟไส้

$\begin{eqnarray*} f'(x) &=& 5(x^4-2)^4(4x^3)\\ &=& 20x^3(x^4-2)^4 \end{eqnarray*}$

จะได้ $f'(x)=20x^3(x^4-2)^4$ ซึ่งต้องใช้สูตรดิฟผลคูณ

$\begin{eqnarray*} f''(x) &=& 20x^3[4(x^4-2)^3(4x^3)]+(x^4-2)^4(60x^2)\\ &=& 320x^6(x^4-2)^3+60x^2(x^4-2)^4 \end{eqnarray*}$

ดังนั้น

$\begin{eqnarray*} f''(1) &=& 320(1)^6((1)^4-2)^3+60(1)^2((1)^4-2)^4\\ &=& 320(-1)^3+60(-1)^4\\ &=& -320+60\\ &=& -260 \end{eqnarray*}$

$f''(1)=-260$

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชัน $f''(x)$ ที่ได้จากการหาอนุพันธ์อันดับที่ 2 ยังคงเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อีก ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้จากการการหาอนุพันธ์ของ $f''(x)$ เราเรียกว่า อนุพันธ์อันดับที่ 3 ของ $f$ ใช้สัญลักษณ์ $f'''(x)$ และสามารถหาอนุพันธ์ต่อไปได้เรื่อยๆ เป็นอนุพันธ์อันดับที่ 4, 5, 6, ..., n ใช้สัญลักษณ์ดังนี้

$f'''(x)$ หรือ $\displaystyle \frac{d^3y}{dx^3}$ แทนอนุพันธ์อันดับที่ 3 ของ $f$ ที่ $x$
$f^{(4)}(x)$ หรือ $\displaystyle \frac{d^4y}{dx^4}$ แทนอนุพันธ์อันดับที่ 4 ของ $f$ ที่ $x$
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$
$f^{(n)}(x)$ หรือ $\displaystyle \frac{d^ny}{dx^n}$ แทนอนุพันธ์อันดับที่ n ของ $f$ ที่ $x$

ตั้งแต่อนุพันธ์อันดับที่ 4 ขึ้นไป จะใช้สัญลักษณ์เป็น $f^{(n)}(x)$ เมื่อ $n$ แทนอันดับ ไม่ใช้ตัว $'$ (prime) เพราะจะยาวเกินไปครับ

ตัวอย่างการหาอนุพันธ์อันดับที่ $n$

ตัวอย่างที่ 4

จงหาอนุพันธ์อันดับที่ 4 ของ $f(x)=5x^4+2x^3-x+2$

$\begin{eqnarray*} f'(x) &=& 5(4x^3)+2(3x^2)-1+0\\ &=& 20x^3+6x^2-1\\ f''(x) &=& 20(3x^2)+6(2x)-0\\ &=& 60x^2+12x\\ f'''(x) &=& 60(2x)+12\\ &=& 120x+12\\ f^{(4)}(x) &=& 120 \end{eqnarray*}$

$f^{(4)}(x)=120$

ตัวอย่างที่ 5

จงหาอนุพันธ์อันดับที่ 3 ของ $\displaystyle f(x)=\frac{6}{x^4}$

$f(x)=6x^{-4}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) &=& 6(-4x^{-5})\\ &=& -24x^{-5}\\ f''(x) &=& -24(-5x^{-6})\\ &=& 120x^{-6}\\ f'''(x) &=& 120(-6x^{-7})\\ &=& -720x^{-7} \end{eqnarray*}$

$\displaystyle f'''(x)=-\frac{720}{x^7}$

ตัวอย่างที่ 6

กำหนด $f(x)=(5x^2-3)(7x^3+x)$ จงหา $f''(-1)$

ในข้อนี้เราสามารถกระจายให้อยู่ในรูปพหุนามก่อนก็ได้ แต่ในที่นี้ขอใช้การดิฟผลคูณนะครับ

$\begin{eqnarray*} f'(x) &=& (5x^2-3)(7(3x^2)+1)+(7x^3+x)(5(2x)-0)\\ &=& (5x^2-3)(21x^2+1)+(7x^3+x)(10x)\\ &=& (5x^2-3)(21x^2+1)+(70x^4+10x^2)\\ f''(x) &=& (5x^2-3)(21(2x)+0)+(21x^2+1)(5(2x)-0)+70(4x^3)+10(2x)\\ &=& (5x^2-3)(42x)+(21x^2+1)(10x)+280x^3+20x\\ &=& 210x^3-126x+210x^3+10x+280x^3+20x\\ &=& 700x^3-96x \end{eqnarray*}$

ดังนั้น

$\begin{eqnarray*} f''(-1) &=& 700(-1)^3-96(-1)\\ &=& -700+96\\ &=& -604 \end{eqnarray*}$

$f''(-1)=-604$

ตัวอย่างที่ 7

กำหนด $f(x)=3x^4-2x+\sqrt{x}-5$ จงหา $f'''(1)$

$f(x)=3x^4-2x+x^{\frac{1}{2}}-5$

$\begin{eqnarray*} f'(x) &=& 3(4x^3)-2+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-0\\ &=& 12x^3-2+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\\ f''(x) &=& 12(3x^2)-0+\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}}\\ &=& 36x^2-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}\\ f'''(x) &=& 36(2x)-\left(\frac{1}{4}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)x^{-\frac{5}{2}}\\ &=& 72x+\frac{3}{8}x^{-\frac{5}{2}} \end{eqnarray*}$

ดังนั้น

$\begin{eqnarray*} f'''(1) &=& 72(1)+\frac{3}{8}(1)^{-\frac{5}{2}}\\ &=& 72+\frac{3}{8}\\ &=& \frac{579}{8} \end{eqnarray*}$

$\displaystyle f'''(1)=\frac{579}{8}$

คำคล้าย : อนุพันธ์อันดับสูง

Under Growing

"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า

@Opendurian

คอร์สแนะนำ

หนังสือแนะนำ