การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันในรูป Un เมื่อ U เป็นฟังก์ชัน
ในการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูป Un เมื่อ U=f(x) และ n≠−1 เช่น
∫(2x−5)6dx
เราไม่สามารถใช้สูตรการหาปริพันธ์โดยตรงได้ การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันรูปแบบนี้ต้องใช้เทคนิคการเปลี่ยน dx เป็น dU ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของฟังก์ชันในรูป Un
ตัวอย่างที่ 1
จงหา ∫(2x−5)6dx
ให้ U=2x−5 จะได้
dUdx=ddx(2x−5)dUdx=2dU2=dx
จาก ∫(2x−5)6dx จะได้ ∫U6dU2=∫U62dU
เราจะสามารถหาปริพันธ์ได้โดยใช้สูตรการหาปริพันธ์พื้นฐาน ดังนี้
∫U62dU=U7(2)(7)+cเมื่อ c เป็นค่าคงตัว=U714+c
แทนค่า U=2x−5 กลับ จะได้ (2x−5)714+c
∫(2x−5)6dx=(2x−5)714+c เมื่อ c เป็นค่าคงตัว
ตัวอย่างที่ 2
จงหา ∫√3x−5dx
ให้ U=3x−5 จะได้
dUdx=ddx(3x−5)dUdx=3dU3=dx
จาก ∫√3x−5dx จะได้ ∫√UdU3=∫U123dU
∫U123dU=U32(3)(32)+cเมื่อ c เป็นค่าคงตัว=29(U)32+c
แทนค่า U=3x−5 กลับ จะได้ 29(3x−5)32+c
∫√3x−5dx=29(3x−5)32+c
ตัวอย่างที่ 3
จงหา ∫(x3+2)23x2dx
ให้ U=x3+2 จะได้
dUdx=ddx(x3+2)dUdx=3x2dU3x2=dx
จาก ∫(x3+2)23x2dx จะได้ ∫U23x2dU3x2=∫U2dU
∫U2dU=U33+cเมื่อ c เป็นค่าคงตัว
แทนค่า U=x3+2 กลับ จะได้ (x3+2)33+c
∫(x3+2)23x2dx=(x3+2)33+c
ตัวอย่างที่ 4
จงหา ∫(4−x3)2x2dx
ให้ U=4−x3 จะได้
dUdx=ddx(4−x3)dUdx=−3x2dU−3x2=dx
จาก ∫(4−x3)2x2dx จะได้ ∫U2x2dU−3x2=−∫U23dU
−∫U23dU=−U3(3)(3)+cเมื่อ c เป็นค่าคงตัว=−U39+c
แทนค่า U=4−x3 กลับ จะได้ −(4−x3)39+c
∫(4−x3)2x2dx=−(4−x3)39+c