เมทริกซ์คืออะไร
กลุ่มของจำนวนที่ถูกเขียนเรียงเป็นแถว แถวละเท่า ๆ กัน และถูกล้อมรอบด้วยวงเล็บ
ตัวอย่างของเมทริกซ์
$$M_1=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6 \end{bmatrix}, M_2=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6 \end{bmatrix}, M_3=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$$
มิติและการเรียกตำแหน่ง
- มิติ
ถ้าเมทริกซ์ $M_1$ มีสมาชิก $m$ แถว และ $n$ หลัก เราเรียกเมทริกซ์นั้นว่า เมทริกซ์ $M_1$ มีมิติ $m\times n$ หรือเรียกว่า เมทริกซ์ $M_1$ มีขนาด $m\times n$
พิจารณาเมทริกซ์ $M_1, M_2, M_3$ จากตัวอย่างข้างบนเราจะได้
เมทริกซ์ $M_1$ มีมิติ $2\times 3$
เมทริกซ์ $M_2$ มีมิติ $3\times 2$
เมทริกซ์ $M_3$ มีมิติ $2\times 2$
- ตำแหน่ง
เราใชัสัญลักษณ์ต่อไปนี้แทนเมทริกซ์ที่มีมิติ $m\times n$
$$A=[a_{ij}]_{m\times n}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&a_{13}&\cdots &a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots &\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&a_{13}&\cdots &a_{mn}
\end{bmatrix}$$
$a_{ij}$ หมายถึงสมาชิก แถวที่ $i$ หลักที่ $j$
ตัวอย่างของสัญลักษณ์แทนตำแหน่งของเมทริกซ์
$$M_1=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix}$$
ดังนั้น $a_{11}=1, a_{12}=2, a_{13}=3, a_{21}=4, a_{22}=5, a_{23}=6$
ประเภทของเมทริกซ์ที่ควรรู้จัก
เมทริกซ์ศูนย์
คือ เมทริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวเป็น $0$ หมด เราใชัสัญลักษณ์ $\bar{0}=[0]_{m\times n}$
ตัวอย่างของเมทริกซ์ศูนย์
$$[0]_{2\times 3}=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$$
เมทริกซ์จัตุรัส
คือ เมทริกซ์ที่มีจำนวนแถว และหลักเท่ากัน หรือเป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ $n\times n$
ตัวอย่างของเมทริกซ์จัตุรัส
$$M_2=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}, M_4=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{bmatrix}$$
- แนวทแยงมุมหลัก
คือ ถ้า $A$ เป็นเมทริกซ์จตุรัส เรียกสมาชิกบนเส้นทแยงมุมจากซ้ายบนลงมาถึงขวาล่างว่า สมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลัก
ตัวอย่างของสมาชิกในแนวเส้นแทยงมุมหลักของเมทริกซ์ $M_2$ และ $M_4$
สมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลักของ $M_2$ คือ $1, 4$
สมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลักของ $M_4$ คือ $1, 5, 9$
เราอาจพิจารณาได้อีกแบบคือ สมาชิกในแนวเส้นแทยงมุมหลักของเมทริกซ์จตุรัส
คือ $a_{11}, a_{22}, a_{33}, \ldots, a_{nn}$
คือ เมทริกซ์จตุรัสที่สมาชิกในแนวเส้นแทยงมุมหลักทุกค่าเป็น $1$ และสมาชิกตำแหน่งอื่น ๆ มีค่าเป็น $0$ เราใชัสัญลักษณ์ $I_n$ แทนเมทริกซ์เอกลักษณ์มิติ $n\times n$
ตัวอย่างของเมทริกซ์เอกลักษณ์
$$I_2=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}, I_3=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$$
- เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน
คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกของเมทริกซ์ทุกตัวที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับ $0$ ตำแหน่งที่เหลือมีค่าเท่าใหร่ก็ได้
ตัวอย่างของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน
$$\begin{bmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&6\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1&0&3&0\\0&4&5&0\\0&0&6&7\\0&0&0&8 \end{bmatrix}$$
- เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง
คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกของเมทริกซ์ทุกตัวที่อยู่บนส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับ $0$ ตำแหน่งที่เหลือมีค่าเท่าใหร่ก็ได้
ตัวอย่างของเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง
$$\begin{bmatrix}3&0&0\\3&4&0\\1&3&6\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}5&0&0&0\\3&4&0&0\\1&3&6&0\\1&2&3&4\end{bmatrix}$$
ทรานสโพส
ให้ $A$ เป็นเมทริกซ์มีมิติ $m\times n$ เขียนแทนด้วย $A=[a_{ij}]_{m\times n}$ ซึ่งทรานโพสของ $A$ เขียนแทนด้วย $A^t$ คือ
$A^t=[a_{ij}]_{m\times n}=[a_{ji}]_{n\times m}$
คือ เมทริกซ์ที่เกิดจากการนำสมาชิกในเมทริกซ์ $A$ สลับกันระหว่างแถวกับหลัก
ตัวอย่างของเมทริกซ์ทราสโพส
ให้ $A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6 \end{bmatrix}$ และ $B=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{bmatrix}$ ดังนั้น
$A^t=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6 \end{bmatrix}$ และ $B^t=\begin{bmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{bmatrix}$