Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js
เทคนิคคูณด้วยคอนจูเกทในการคำนวณลิมิตและอนุกรม, เทคนิคคูณด้วยคอนจูเกท, เทคนิคคูณด้วยสังยุค, เทคนิคคูณสังยุค, เทคนิคคูณคอนจูเกท
(limit conjugate technique)

การคำนวณลิมิตติดรากที่สองที่ใช้เทคนิคการแทนค่าแล้วอยู่ในรูป $\frac00$ หรือ $\infty-\infty$ สามารถแก้ได้ด้วยการคูณด้วยคอนจูเกทของพจน์ติดรากที่สองนั้น เช่น

ตัวอย่างการคูณด้วยคอนจูเกทในการคำนวณลิมิตของฟังก์ชัน

จงหา ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}}$

จะเห็นว่าเมื่อแทนค่า $x=3$ แล้วจะได้อยู่ในรูป $\frac00$

(3)+12(3)3=4233=2233=00

คอนจูเกทของ $\sqrt{x+1}-2$ คือ พจน์เดียวกันที่กลับเครื่องหมายตัวใดตัวหนึ่ง นั่นคือ $\sqrt{x+1}+2$

เราจึงคูณด้วยคอนจูเกทของ $\sqrt{x+1}-2$ หรือ คูณด้วย $\sqrt{x+1}+2$ ทั้งเศษและส่วน

limx3x+12x3=limx3x+12x3×x+1+2x+1+2=limx3(x+12)(x+1+2)(x3)(x+1+2)

ซึ่งจะทำให้เทอมที่ติดรากที่สองหายไปเพราะตรงกับสูตรผลต่างกำลังสอง $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$  แล้วหลังจากนั้นก็ใช้เทคนิคอื่นๆ ของลิมิตในการคำนวณได้ตามปรกติ

limx3(x+12)(x+1+2)(x3)(x+1+2)=limx3(x+1)222(x3)(x+1+2)=limx3(x+1)4(x3)(x+1+2)=limx3x3(x3)(x+1+2)=limx3x3(x3)(x+1+2)=limx31x+1+2=1(3)+1+2=14+2=12+2=14

${\displaystyle \lim_{x\rightarrow3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}}=\frac14$

เทคนิคการคูณด้วยคอนจูเกทสามารถใช้ได้ทั้งลิมิตของลำดับอนันต์ ลิมิตของฟังก์ชัน ผลบวกของอนุกรมจำกัด และผลบวกของอนุกรมอนันต์อนันต์(ลิมิตของผลบวกย่อย) ที่มีส่วนใดส่วนหนึ่งติดรากที่สองและเมื่อใช้เทคนิคแทนค่าแล้วอยู่ในรูป $\frac00$ หรือ $\infty -\infty$

ตัวอย่างการใช้เทคนิคคูณด้วยคอนจูเกทกับอนุกรมจำกัด

กำหนดให้ลำดับ $a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$ จงหาผลรวม $99$ พจน์แรกของลำดับนี้

จัดรูป $a_n$ เสียใหม่ โดยการคูณด้วยคอนจูเกทของ $\sqrt{n}+\sqrt{n+1}$ นั่นคือ คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $\sqrt{n}-\sqrt{n+1}$

an=1n+n+1=1n+n+1×nn+1nn+1=nn+1n(n+1)=nn+11=n+1n

จากนั้นนำ $a_n$ ในรูปใหม่นี้มาคำนวณผลรวม $99$ พจน์

S99=a1+a2+a3++a98+a99=((1)+1(1))+((2)+1(2))+((3)+1(3))++((98)+1(98))+((99)+1(99))=(21)+(32)+(43)++(9998)+(10099)=(21)+(32)+(43)++(9998)+(10099)=1+100=1+10=9

 $S_{99}=9$

ตัวอย่างการใช้เทคนิคคูณด้วยคอนจูเกทกับลำดับอนันต์

จงหาค่าของ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n^{2}+n+1}-\sqrt{n^{2}-n+1}}{2}$

เมื่อลองแทนค่าดูแล้วพบว่าอยู่ในรูป $\infty -\infty$ จึงคูณด้วยคอนจูเกท คือ คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $\sqrt{n^{2}+n+1}+\sqrt{n^{2}-n+1}$

limnn2+n+1n2n+12=limnn2+n+1n2n+12×n2+n+1+n2n+1n2+n+1+n2n+1=limn(n2+n+1)(n2n+1)2(n2+n+1+n2n+1)=limn2n2(n2+n+1+n2n+1)=limnnn2+n+1+n2n+1

จากนั้นหารทั้งเศษและส่วนด้วย $n$ แล้วจัดรูปเสียใหม่โดยการเอา $n$ เข้าไปในรากที่สอง

limnnnn2+n+1+n2n+1n=limn1n2+n+1n2+n2n+1n2=limn11+1n+1n2+11n+1n2=11+0+0+10+0=11+1=12

ซึ่งทำให้สามารถคำนวณลิมิตของลำดับอนันต์ที่เคยอยู่ในรูป $\infty - \infty$ ได้

 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n^{2}+n+1}-\sqrt{n^{2}-n+1}}{2}=\frac12$

ตัวอย่างการคูณด้วยคอนจูเกทมากกว่าหนึ่งครั้ง

ให้หาค่าของ $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-1}\frac{\sqrt{x^{2}+4x+5}-\sqrt{x^{2}+x+2}}{\sqrt{x^{2}+3x+3}+x}$

ทดลองแทนค่า $x=-1$ พบว่าอยู่ในรูป $\frac00$

(1)2+4(1)+5(1)2+(1)+2(1)2+3(1)+3+(1)=221+(1)=00

ทั้งด้านบนและด้านล่างเป็นพจน์ที่ติดรากที่สองทั้งคู่ จึงต้องคูณด้วยคอนจูเกทถึงสองครั้ง คือ คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $\sqrt{x^{2}+4x+5}+\sqrt{x^{2}+x+2}$

limx1x2+4x+5x2+x+2x2+3x+3+x=limx1x2+4x+5x2+x+2x2+3x+3+x×x2+4x+5+x2+x+2x2+4x+5+x2+x+2=limx1(x2+4x+5)(x2+x+2)(x2+3x+3+x)(x2+4x+5+x2+x+2)=limx13x+3(x2+4x+5+x2+x+2)(x2+3x+3+x)

และคูณทั้งเศษและส่วนอีกครั้งด้วย $\sqrt{x^{2}+3x+3}-x$

=limx13x+3(x2+4x+5+x2+x+2)(x2+3x+3+x)×x2+3x+3xx2+3x+3x=limx1(3x+3)(x2+3x+3x)(x2+4x+5+x2+x+2)((x2+3x+3)(x2))=limx1(3x+3)(x2+3x+3x)(x2+4x+5+x2+x+2)(3x+3)=limx1(3x+3)(x2+3x+3x)(x2+4x+5+x2+x+2)(3x+3)=limx1x2+3x+3xx2+4x+5+x2+x+2

จากนั้นใช้เทคนิคแทนค่า

=(1)2+3(1)+3(1)(1)2+4(1)+5+(1)2+(1)+2=13+3+114+5+11+2=1+12+2=222=222=12

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-1}\frac{\sqrt{x^{2}+4x+5}-\sqrt{x^{2}+x+2}}{\sqrt{x^{2}+3x+3}+x}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

การใช้เทคนิคที่คล้ายกับการคูณด้วยคอนจูเกท

การคูณด้วยคอนจูเกททำให้รากที่สองหายไปได้เพราะว่าเราคูณด้วยพจน์ที่ตรงกับสูตรผลต่างกำลังสอง แต่ที่จริงแล้วยังมีสูตรกำลังสามและกำลังสี่ที่มีลักษณะคล้ายกัน คือ เมื่อคูณกันแล้วทำให้รากที่สามและรากที่สี่หายไปได้เช่นกัน  สูตรเหล่านั้น คือ

(ab)(a+b)=a2b2(ab)(a2+ab+b2)=a3b3(a+b)(a2ab+b2)=a3+b3(ab)(a+b)(a2+b2)=a4b4

โดยเราจะนำมาปรับใช้กับพจน์ที่ติดรากที่สอง รากที่สามและรากที่สี่ได้ดังนี้

(ab)×(a+b)=ab(a+b)×(ab)=ab(3a+3b)×((3a)2(3a)(3b)+(3b)2)=a+b(3a3b)×((3a)2+(3a)(3b)+(3b)2)=ab(4a4b)×(4a+4b)×(a+b)=ab(4a+4b)×(4a4b)×(a+b)=ab

ซึ่งสามารถนำมาใช้ได้แบบเดียวกับเทคนิคคูณด้วยคอนจูเกท เช่น

ตัวอย่างโจทย์ที่คูณให้ครบกำลังสาม 

ให้หาค่าของลิมิต $\displaystyle\lim_{t\rightarrow-1}\frac{\sqrt[3]{3t}-\sqrt[3]{t-2}}{t+1}$

เมื่อใช้เทคนิคแทนค่า $t=-1$ จะอยู่ในรูป $\frac00$

33(1)3(1)2(1)+1=3333(1)+1=00

และเนื่องจากสองพจน์ด้านบนอยู่ในรูปรากที่สาม  เราจึงเลือกคูณทั้งเศษและส่วนด้วยให้ตรงกับสูตรของผลต่างกำลังสาม นั่นคือ คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $\left(\sqrt[3]{3t}\right)^{2}+\left(\sqrt[3]{3t}\right)\left(\sqrt[3]{t-2}\right)+\left(\sqrt[3]{t-2}\right)^{2}$

limt133t3t2t+1=limt133t3t2t+1×(33t)2+(33t)(3t2)+(3t2)2(33t)2+(33t)(3t2)+(3t2)2=limt1(3t)(t2)t+1×1(33t)2+(33t)(3t2)+(3t2)2=limt12t+2t+1×1(33t)2+(33t)(3t2)+(3t2)2=limt12(t+1)t+1×1(33t)2+(33t)(3t2)+(3t2)2=limt12(33t)2+(33t)(3t2)+(3t2)2=2(33(1))2+(33(1))(3(1)2)+(3(1)2)2=2(39)+(39)+39=2339

$\displaystyle\lim_{t\rightarrow-1}\frac{\sqrt[3]{3t}-\sqrt[3]{t-2}}{t+1}=\frac{2}{3\sqrt[3]{9}}$

 

คำคล้าย : เทคนิคคูณด้วยคอนจูเกทในการคำนวณลิมิตและอนุกรม, เทคนิคคูณด้วยคอนจูเกท, เทคนิคคูณด้วยสังยุค, เทคนิคคูณสังยุค, เทคนิคคูณคอนจูเกท
Under Growing
"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า
คอร์สแนะนำ
หนังสือแนะนำ