การคำนวณลิมิตติดรากที่สองที่ใช้เทคนิคการแทนค่าแล้วอยู่ในรูป $\frac00$ หรือ $\infty-\infty$ สามารถแก้ได้ด้วยการคูณด้วยคอนจูเกทของพจน์ติดรากที่สองนั้น เช่น
ตัวอย่างการคูณด้วยคอนจูเกทในการคำนวณลิมิตของฟังก์ชัน
จงหา ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}}$
จะเห็นว่าเมื่อแทนค่า $x=3$ แล้วจะได้อยู่ในรูป $\frac00$
√(3)+1−2(3)−3=√4−23−3=2−23−3=00
คอนจูเกทของ $\sqrt{x+1}-2$ คือ พจน์เดียวกันที่กลับเครื่องหมายตัวใดตัวหนึ่ง นั่นคือ $\sqrt{x+1}+2$
เราจึงคูณด้วยคอนจูเกทของ $\sqrt{x+1}-2$ หรือ คูณด้วย $\sqrt{x+1}+2$ ทั้งเศษและส่วน
limx→3√x+1−2x−3=limx→3√x+1−2x−3×√x+1+2√x+1+2=limx→3(√x+1−2)(√x+1+2)(x−3)(√x+1+2)
ซึ่งจะทำให้เทอมที่ติดรากที่สองหายไปเพราะตรงกับสูตรผลต่างกำลังสอง $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ แล้วหลังจากนั้นก็ใช้เทคนิคอื่นๆ ของลิมิตในการคำนวณได้ตามปรกติ
limx→3(√x+1−2)(√x+1+2)(x−3)(√x+1+2)=limx→3(√x+1)2−22(x−3)(√x+1+2)=limx→3(x+1)−4(x−3)(√x+1+2)=limx→3x−3(x−3)(√x+1+2)=limx→3x−3(x−3)(√x+1+2)=limx→31√x+1+2=1√(3)+1+2=1√4+2=12+2=14
${\displaystyle \lim_{x\rightarrow3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}}=\frac14$
เทคนิคการคูณด้วยคอนจูเกทสามารถใช้ได้ทั้งลิมิตของลำดับอนันต์ ลิมิตของฟังก์ชัน ผลบวกของอนุกรมจำกัด และผลบวกของอนุกรมอนันต์อนันต์(ลิมิตของผลบวกย่อย) ที่มีส่วนใดส่วนหนึ่งติดรากที่สองและเมื่อใช้เทคนิคแทนค่าแล้วอยู่ในรูป $\frac00$ หรือ $\infty -\infty$
ตัวอย่างการใช้เทคนิคคูณด้วยคอนจูเกทกับอนุกรมจำกัด
กำหนดให้ลำดับ $a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$ จงหาผลรวม $99$ พจน์แรกของลำดับนี้
จัดรูป $a_n$ เสียใหม่ โดยการคูณด้วยคอนจูเกทของ $\sqrt{n}+\sqrt{n+1}$ นั่นคือ คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $\sqrt{n}-\sqrt{n+1}$
an=1√n+√n+1=1√n+√n+1×√n−√n+1√n−√n+1=√n−√n+1n−(n+1)=√n−√n+1−1=√n+1−√n
จากนั้นนำ $a_n$ ในรูปใหม่นี้มาคำนวณผลรวม $99$ พจน์
S99=a1+a2+a3+⋯+a98+a99=(√(1)+1−√(1))+(√(2)+1−√(2))+(√(3)+1−√(3))+⋯+(√(98)+1−√(98))+(√(99)+1−√(99))=(√2−√1)+(√3−√2)+(√4−√3)+⋯+(√99−√98)+(√100−√99)=(√2−√1)+(√3−√2)+(√4−√3)+⋯+(√99−√98)+(√100−√99)=−√1+√100=−1+10=9
$S_{99}=9$
ตัวอย่างการใช้เทคนิคคูณด้วยคอนจูเกทกับลำดับอนันต์
จงหาค่าของ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n^{2}+n+1}-\sqrt{n^{2}-n+1}}{2}$
เมื่อลองแทนค่าดูแล้วพบว่าอยู่ในรูป $\infty -\infty$ จึงคูณด้วยคอนจูเกท คือ คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $\sqrt{n^{2}+n+1}+\sqrt{n^{2}-n+1}$
limn→∞√n2+n+1−√n2−n+12=limn→∞√n2+n+1−√n2−n+12×√n2+n+1+√n2−n+1√n2+n+1+√n2−n+1=limn→∞(n2+n+1)−(n2−n+1)2(√n2+n+1+√n2−n+1)=limn→∞2n2(√n2+n+1+√n2−n+1)=limn→∞n√n2+n+1+√n2−n+1
จากนั้นหารทั้งเศษและส่วนด้วย $n$ แล้วจัดรูปเสียใหม่โดยการเอา $n$ เข้าไปในรากที่สอง
limn→∞nn√n2+n+1+√n2−n+1n=limn→∞1√n2+n+1n2+√n2−n+1n2=limn→∞1√1+1n+1n2+√1−1n+1n2=1√1+0+0+√1−0+0=1√1+√1=12
ซึ่งทำให้สามารถคำนวณลิมิตของลำดับอนันต์ที่เคยอยู่ในรูป $\infty - \infty$ ได้
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n^{2}+n+1}-\sqrt{n^{2}-n+1}}{2}=\frac12$
ตัวอย่างการคูณด้วยคอนจูเกทมากกว่าหนึ่งครั้ง
ให้หาค่าของ $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-1}\frac{\sqrt{x^{2}+4x+5}-\sqrt{x^{2}+x+2}}{\sqrt{x^{2}+3x+3}+x}$
ทดลองแทนค่า $x=-1$ พบว่าอยู่ในรูป $\frac00$
√(−1)2+4(−1)+5−√(−1)2+(−1)+2√(−1)2+3(−1)+3+(−1)=√2−√2√1+(−1)=00
ทั้งด้านบนและด้านล่างเป็นพจน์ที่ติดรากที่สองทั้งคู่ จึงต้องคูณด้วยคอนจูเกทถึงสองครั้ง คือ คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $\sqrt{x^{2}+4x+5}+\sqrt{x^{2}+x+2}$
limx→−1√x2+4x+5−√x2+x+2√x2+3x+3+x=limx→−1√x2+4x+5−√x2+x+2√x2+3x+3+x×√x2+4x+5+√x2+x+2√x2+4x+5+√x2+x+2=limx→−1(x2+4x+5)−(x2+x+2)(√x2+3x+3+x)(√x2+4x+5+√x2+x+2)=limx→−13x+3(√x2+4x+5+√x2+x+2)(√x2+3x+3+x)
และคูณทั้งเศษและส่วนอีกครั้งด้วย $\sqrt{x^{2}+3x+3}-x$
=limx→−13x+3(√x2+4x+5+√x2+x+2)(√x2+3x+3+x)×√x2+3x+3−x√x2+3x+3−x=limx→−1(3x+3)(√x2+3x+3−x)(√x2+4x+5+√x2+x+2)((x2+3x+3)−(x2))=limx→−1(3x+3)(√x2+3x+3−x)(√x2+4x+5+√x2+x+2)(3x+3)=limx→−1(3x+3)(√x2+3x+3−x)(√x2+4x+5+√x2+x+2)(3x+3)=limx→−1√x2+3x+3−x√x2+4x+5+√x2+x+2
จากนั้นใช้เทคนิคแทนค่า
=√(−1)2+3(−1)+3−(−1)√(−1)2+4(−1)+5+√(−1)2+(−1)+2=√1−3+3+1√1−4+5+√1−1+2=1+1√2+√2=22√2=22√2=1√2
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-1}\frac{\sqrt{x^{2}+4x+5}-\sqrt{x^{2}+x+2}}{\sqrt{x^{2}+3x+3}+x}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
การใช้เทคนิคที่คล้ายกับการคูณด้วยคอนจูเกท
การคูณด้วยคอนจูเกททำให้รากที่สองหายไปได้เพราะว่าเราคูณด้วยพจน์ที่ตรงกับสูตรผลต่างกำลังสอง แต่ที่จริงแล้วยังมีสูตรกำลังสามและกำลังสี่ที่มีลักษณะคล้ายกัน คือ เมื่อคูณกันแล้วทำให้รากที่สามและรากที่สี่หายไปได้เช่นกัน สูตรเหล่านั้น คือ
(a−b)(a+b)=a2−b2(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3(a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3(a−b)(a+b)(a2+b2)=a4−b4
โดยเราจะนำมาปรับใช้กับพจน์ที่ติดรากที่สอง รากที่สามและรากที่สี่ได้ดังนี้
(√a−√b)×(√a+√b)=a−b(√a+√b)×(√a−√b)=a−b(3√a+3√b)×((3√a)2−(3√a)(3√b)+(3√b)2)=a+b(3√a−3√b)×((3√a)2+(3√a)(3√b)+(3√b)2)=a−b(4√a−4√b)×(4√a+4√b)×(√a+√b)=a−b(4√a+4√b)×(4√a−4√b)×(√a+√b)=a−b
ซึ่งสามารถนำมาใช้ได้แบบเดียวกับเทคนิคคูณด้วยคอนจูเกท เช่น
ตัวอย่างโจทย์ที่คูณให้ครบกำลังสาม
ให้หาค่าของลิมิต $\displaystyle\lim_{t\rightarrow-1}\frac{\sqrt[3]{3t}-\sqrt[3]{t-2}}{t+1}$
เมื่อใช้เทคนิคแทนค่า $t=-1$ จะอยู่ในรูป $\frac00$
3√3(−1)−3√(−1)−2(−1)+1=3√−3−3√−3(−1)+1=00
และเนื่องจากสองพจน์ด้านบนอยู่ในรูปรากที่สาม เราจึงเลือกคูณทั้งเศษและส่วนด้วยให้ตรงกับสูตรของผลต่างกำลังสาม นั่นคือ คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $\left(\sqrt[3]{3t}\right)^{2}+\left(\sqrt[3]{3t}\right)\left(\sqrt[3]{t-2}\right)+\left(\sqrt[3]{t-2}\right)^{2}$
limt→−13√3t−3√t−2t+1=limt→−13√3t−3√t−2t+1×(3√3t)2+(3√3t)(3√t−2)+(3√t−2)2(3√3t)2+(3√3t)(3√t−2)+(3√t−2)2=limt→−1(3t)−(t−2)t+1×1(3√3t)2+(3√3t)(3√t−2)+(3√t−2)2=limt→−12t+2t+1×1(3√3t)2+(3√3t)(3√t−2)+(3√t−2)2=limt→−12(t+1)t+1×1(3√3t)2+(3√3t)(3√t−2)+(3√t−2)2=limt→−12(3√3t)2+(3√3t)(3√t−2)+(3√t−2)2=2(3√3(−1))2+(3√3(−1))(3√(−1)−2)+(3√(−1)−2)2=2(3√9)+(3√9)+3√9=233√9
$\displaystyle\lim_{t\rightarrow-1}\frac{\sqrt[3]{3t}-\sqrt[3]{t-2}}{t+1}=\frac{2}{3\sqrt[3]{9}}$