ลิมิตของลำดับ, ลิมิตลำดับ, ลิมิตอนันต์ของลำดับ

(limit of sequence)

ให้ $a_n$ เป็นลำดับ

$\begin{align*}\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=L\end{align*}$

หมายความว่า เมื่อ $n$ มีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ โดยไม่สิ้นสุด ค่าของ $a_n$ เข้าใกล้หรือเท่ากับ $L$

1. ถ้า $L\in \mathbb{R}$ และมีเพียงจำนวนเดียว เราเรียกว่า ลำดับลู่เข้า (Convergent Sequence)

ตัวอย่างของลำดับลู่เข้า

$a_n=\displaystyle\frac{1}{n}$ จะได้ลิมิต $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0$

2. ถ้า $L\not\in \mathbb{R}$ $(อาจเป็น \infty, -\infty)$ หรือ อาจมีหลายค่า เราเรียกว่า ลำดับลู่ออก (Divergent Sequence)

ตัวอย่างของลำดับลู่ออกสู่ $\infty$

$a_n=n$ จะได้ลิมิต $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}n=\infty$

ตัวอย่างของลำดับลู่ออกสู่ $-\infty$

$a_n=-2^n$ จะได้ลิมิต $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}-2^n =-\infty$

ตัวอย่างของลำดับมีค่าแกว่งไปมา

$a_n= (-1)^n$ จะได้ว่า $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}(-1)^n$ หาค่าไม่ได้

เนื่องจาก $(-1)^n=-1$ เมื่อ n เป็นจำนวนคี่ และ $(-1)^n=1$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนคู่

ข้อสังเกต $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n= $\begin{cases}\infty\\ -\infty\\ \text{มีค่าแกว่งไปมา} \end{cases}$ $

เราจะถือว่า $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n$ ลู่ออก

ทฤษฏีเกี่ยวกับลิมิตของลำดับ

ให้ $k$ เป็นจำนวนจริงบวก, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=a$ และ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} b_n=b$ จะได้ว่า

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}c=c$
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}c\cdot a_n=c\cdot\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=ca$
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}(a_n\pm b_n)=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n\pm\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}b_n=a\pm b$
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}(a_n\times b_n)=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n\times \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}b_n=a\times b$
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}b_n}=\frac{a}{b}$
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} (a_n)^k=(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n)^k=a^k$
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[k]{a_n}=\sqrt[k]{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n}=\sqrt[k]{a}$
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}|a_n|=|\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n|$
ถ้า $|c|<1$ แล้ว $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} c^n=0$
ถ้า $|c|>1$ แล้ว $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} c^n$ หาค่าไม่ได้
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^k}=0$ และ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}n^k$ หาค่าไม่ได้

ลิมิตของเศษส่วนพหุนาม

การหาค่าของ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}$ เมื่อ $a_n$ และ $b_n$ เป็นฟังก์ชันพหุนาม สามารถสรุปได้ดังนี้

1. กำลังสูงสุดของ $n$ ในตัวเศษ = ตัวส่วน คำตอบคือ $\frac{\text{สปส. กำลังสูงสุดของ $n$ ในเศษ}}{\text{สปส. กำลังสูงสุดของ $n$ ในส่วน}}$

ตัวอย่างของลิมิตเศษส่วนพหุนามที่ กำลังสูงสุดของ $n$ ในตัวเศษ = ตัวส่วน

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2n^2-n-1}{6n^2+1}=\frac{1}{3}$ "กำลังสูงสุดของตัวเศษและตัวส่วนคือ $2$"

2. กำลังสูงสุดของ $n$ ในตัวเศษ < ตัวส่วน คำตอบคือ $0$

ตัวอย่างของลิมิตเศษส่วนพหุนามที่ กำลังสูงสุดของ $n$ ในตัวเศษ < ตัวส่วน

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{5n+1}{n^2+6n+6}=0$ "กำลังสูงสุดของตัวเศษคือ $1$ และกำลังสูงสุดของตัวเศษคือ $2$"

3. กำลังสูงสุดของ $n$ ในตัวเศษ > ตัวส่วน คำตอบคือ ไม่มีลิมิต (ลำดับลู่ออก)

ตัวอย่างของลิมิตเศษส่วนพหุนามที่ กำลังสูงสุดของ $n$ ในตัวเศษ > ตัวส่วน

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n^2+3n+3}{9n+1}$ "กำลังสูงสุดของตัวเศษคือ $2$ และกำลังสูงสุดของตัวส่วนคือ $1$"

ลิมิตของฟังก์ชันเอกโพเนนเชียล

การหาค่าของ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}$ เมื่อ $a_n$ และ $b_n$ เป็นฟังก์ชันเอกโพเนนเชียล สามารถสรุปได้ดังนี้

1. ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ = ตัวส่วน คำตอบคือ ให้ตัดพจน์อื่นทิ้งแล้วคำนวณ

ตัวอย่างลิมิตของฟังก์ชันเอกโพเนนเชียลที่ ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ = ตัวส่วน

$\begin{eqnarray}\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3^n+2^{n-1}}{3^{n+2}+2^{n-1}}=&\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3^n}{3^{n+2}}\\ =&\frac{1}{3^2}\\ =&\frac{1}{9}\end{eqnarray}$

"ฐานของเลขยกกำลังที่มีค่ามากสุดของตัวเศษและตัวส่วนคือ $3$"

2. ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ < ตัวส่วน คำตอบคือ $0$

ตัวอย่างลิมิตของฟังก์ชันเอกโพเนนเชียลที่ ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ < ตัวส่วน

$\begin{eqnarray}\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2^{2n}-3^{2n+1}}{2^n+5^{2n}}=&\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{-3^{2n+1}}{5^{2n}}\\ =&0\end{eqnarray}$ "ฐานของเลขยกกำลังที่มีค่ามากสุดของตัวเศษ $3$ และตัวส่วนคือ $5$"

3. ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ > ตัวส่วน คำตอบคือ ไม่มีลิมิต "ลำดับลู่ออก"

ตัวอย่างลิมิตของฟังก์ชันเอกโพเนนเชียลที่ ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ > ตัวส่วน

$\begin{eqnarray}\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{7^n-2^{n-1}}{5^{2n}+2^{n-1}}&=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{7^n}{5^{2n}}\end{eqnarray} \text{ไม่มีลิมิต}$ "ฐานของเลขยกกำลังที่มีค่ามากสุดของตัวเศษคือ $7$ และตัวส่วนคือ $5$"

ลิมิตของลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต

ลิมิตของลำดับเลขคณิต

พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตคือ $a_n=a_1+(n-1)d$

ดังนั้นเราจะได้ว่า

$\begin{eqnarray} \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n= \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_1+(n-1)d=\begin{cases} \infty \text{ เมื่อ} d>0\\ -\infty \text{เมื่อ} d<0\\ a_1 \text{ เมื่อ} d=0 \end{cases}\end{eqnarray}$

ลิมิตของลำดับเรขาคณิต

พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือ $a_n=a_1r^{(n-1)}$

ดังนั้นเราจะได้ว่า

$\begin{eqnarray} \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n= \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_1r^{(n-1)}=\begin{cases} \infty \text{เมื่อ} |r|>1\\ a_1 \text{เมื่อ} r =1\\ \text{ไม่มีลิมิต} \text{เมื่อ} r =-1\\ 0 \text{เมื่อ} |r|<1 \end{cases}\end{eqnarray}$

คำคล้าย : ลิมิตของลำดับ, ลิมิตลำดับ, ลิมิตอนันต์ของลำดับ

Under Growing

"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า

@Opendurian

คอร์สแนะนำ

หนังสือแนะนำ