ลิมิตของลำดับ, ลิมิตลำดับ, ลิมิตอนันต์ของลำดับ
(limit of sequence)

ให้ an เป็นลำดับ

limnan=L

หมายความว่า เมื่อ n มีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ โดยไม่สิ้นสุด    ค่าของ an เข้าใกล้หรือเท่ากับ  L
 

1.  ถ้า LR และมีเพียงจำนวนเดียว    เราเรียกว่า ลำดับลู่เข้า (Convergent Sequence)

ตัวอย่างของลำดับลู่เข้า

an=1n จะได้ลิมิต  limn1n=0

2.  ถ้า LR (,) หรือ อาจมีหลายค่า  เราเรียกว่า ลำดับลู่ออก (Divergent Sequence)

ตัวอย่างของลำดับลู่ออกสู่

           an=n  จะได้ลิมิต   limnn=

ตัวอย่างของลำดับลู่ออกสู่   

an=2n  จะได้ลิมิต  limn2n=

ตัวอย่างของลำดับมีค่าแกว่งไปมา

an=(1)n  จะได้ว่า  limn(1)n    หาค่าไม่ได้

เนื่องจาก (1)n=1   เมื่อ n เป็นจำนวนคี่ และ (1)n=1 เมื่อ n  เป็นจำนวนคู่

ข้อสังเกต limnan={มีค่าแกว่งไปมา

  เราจะถือว่า limnan ลู่ออก

ทฤษฏีเกี่ยวกับลิมิตของลำดับ

 

ให้ k เป็นจำนวนจริงบวก, limnan=a และ limnbn=b จะได้ว่า

  1. limnc=c
     
  2. limncan=climnan=ca
     
  3. limn(an±bn)=limnan±limnbn=a±b
     
  4. limn(an×bn)=limnan×limnbn=a×b
     
  5. limnanbn=limnanlimnbn=ab
     
  6. limn(an)k=(limnan)k=ak
     
  7. limnkan=klimnan=ka
     
  8. limn|an|=|limnan|
     
  9. ถ้า |c|<1 แล้ว limncn=0
    ถ้า |c|>1 แล้ว limncn หาค่าไม่ได้
     
  10. limn1nk=0  และ limnnk หาค่าไม่ได้

 

ลิมิตของเศษส่วนพหุนาม

 

การหาค่าของ limnanbn เมื่อ  an  และ  bn เป็นฟังก์ชันพหุนาม  สามารถสรุปได้ดังนี้

1. กำลังสูงสุดของ n   ในตัวเศษ = ตัวส่วน   คำตอบคือ  สปส. กำลังสูงสุดของ n ในเศษสปส. กำลังสูงสุดของ n ในส่วน

ตัวอย่างของลิมิตเศษส่วนพหุนามที่ กำลังสูงสุดของ n   ในตัวเศษ = ตัวส่วน

  limn2n2n16n2+1=13     "กำลังสูงสุดของตัวเศษและตัวส่วนคือ 2"

2. กำลังสูงสุดของ n   ในตัวเศษ < ตัวส่วน   คำตอบคือ  0

 ตัวอย่างของลิมิตเศษส่วนพหุนามที่ กำลังสูงสุดของ n   ในตัวเศษ < ตัวส่วน

limn5n+1n2+6n+6=0     "กำลังสูงสุดของตัวเศษคือ 1 และกำลังสูงสุดของตัวเศษคือ 2"

3. กำลังสูงสุดของ n   ในตัวเศษ > ตัวส่วน   คำตอบคือ ไม่มีลิมิต (ลำดับลู่ออก)

ตัวอย่างของลิมิตเศษส่วนพหุนามที่ กำลังสูงสุดของ n   ในตัวเศษ > ตัวส่วน

limnn2+3n+39n+1     "กำลังสูงสุดของตัวเศษคือ 2 และกำลังสูงสุดของตัวส่วนคือ 1"

ลิมิตของฟังก์ชันเอกโพเนนเชียล

การหาค่าของ limnanbn เมื่อ  an และ bn เป็นฟังก์ชันเอกโพเนนเชียล  สามารถสรุปได้ดังนี้

1. ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ = ตัวส่วน  คำตอบคือ ให้ตัดพจน์อื่นทิ้งแล้วคำนวณ

ตัวอย่างลิมิตของฟังก์ชันเอกโพเนนเชียลที่ ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ = ตัวส่วน

 limn3n+2n13n+2+2n1=limn3n3n+2=132=19
  

"ฐานของเลขยกกำลังที่มีค่ามากสุดของตัวเศษและตัวส่วนคือ 3"

2. ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ < ตัวส่วน  คำตอบคือ 0

ตัวอย่างลิมิตของฟังก์ชันเอกโพเนนเชียลที่ ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ < ตัวส่วน

 limn22n32n+12n+52n=limn32n+152n=0
  "ฐานของเลขยกกำลังที่มีค่ามากสุดของตัวเศษ 3  และตัวส่วนคือ 5"

3. ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ > ตัวส่วน  คำตอบคือ ไม่มีลิมิต "ลำดับลู่ออก"

 ตัวอย่างลิมิตของฟังก์ชันเอกโพเนนเชียลที่  ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ > ตัวส่วน

limn7n2n152n+2n1=limn7n52nไม่มีลิมิต
  "ฐานของเลขยกกำลังที่มีค่ามากสุดของตัวเศษคือ 7 และตัวส่วนคือ 5"

ลิมิตของลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต

ลิมิตของลำดับเลขคณิต

พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตคือ       an=a1+(n1)d

ดังนั้นเราจะได้ว่า

limnan=limna1+(n1)d={ เมื่อd>0เมื่อd<0a1 เมื่อd=0

  ลิมิตของลำดับเรขาคณิต

 

พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือ       an=a1r(n1)

ดังนั้นเราจะได้ว่า

limnan=limna1r(n1)={เมื่อ|r|>1a1เมื่อr=1ไม่มีลิมิตเมื่อr=10เมื่อ|r|<1

 

คำคล้าย : ลิมิตของลำดับ, ลิมิตลำดับ, ลิมิตอนันต์ของลำดับ
Under Growing
"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า
คอร์สแนะนำ
หนังสือแนะนำ
รายละเอียดการใช้งานคุกกี้

เพื่อประโยชน์และประสบการณ์ที่ดีในการใช้งานเว็บไซต์ของ บริษัท โอเพ่นดูเรียน จํากัด (“โอเพ่นดูเรียน”) โอเพ่นดูเรียนจึงใช้คุกกี้บนเว็บไซต์ของบริษัท ทั้งนี้ คุณสามารถศึกษาเพิ่มเติม เกี่ยวกับนโยบายคุกกี้ของโอเพ่นดูเรียนได้ที่ นโยบายคุกกี้ และคุณสามารถปฏิเสธคุกกี้ได้