ให้ an เป็นลำดับ
limn→∞an=L
หมายความว่า เมื่อ n มีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ โดยไม่สิ้นสุด ค่าของ an เข้าใกล้หรือเท่ากับ L
1. ถ้า L∈R และมีเพียงจำนวนเดียว เราเรียกว่า ลำดับลู่เข้า (Convergent Sequence)
ตัวอย่างของลำดับลู่เข้า
an=1n จะได้ลิมิต limn→∞1n=0
2. ถ้า L∉R (อาจเป็น∞,−∞) หรือ อาจมีหลายค่า เราเรียกว่า ลำดับลู่ออก (Divergent Sequence)
ตัวอย่างของลำดับลู่ออกสู่ ∞
an=n จะได้ลิมิต limn→∞n=∞
ตัวอย่างของลำดับลู่ออกสู่ −∞
an=−2n จะได้ลิมิต limn→∞−2n=−∞
ตัวอย่างของลำดับมีค่าแกว่งไปมา
an=(−1)n จะได้ว่า limn→∞(−1)n หาค่าไม่ได้
เนื่องจาก (−1)n=−1 เมื่อ n เป็นจำนวนคี่ และ (−1)n=1 เมื่อ n เป็นจำนวนคู่
ข้อสังเกต limn→∞an={∞−∞มีค่าแกว่งไปมา
เราจะถือว่า limn→∞an ลู่ออกทฤษฏีเกี่ยวกับลิมิตของลำดับ
ให้ k เป็นจำนวนจริงบวก, limn→∞an=a และ limn→∞bn=b จะได้ว่า
- limn→∞c=c
- limn→∞c⋅an=c⋅limn→∞an=ca
- limn→∞(an±bn)=limn→∞an±limn→∞bn=a±b
- limn→∞(an×bn)=limn→∞an×limn→∞bn=a×b
- limn→∞anbn=limn→∞anlimn→∞bn=ab
- limn→∞(an)k=(limn→∞an)k=ak
- limn→∞k√an=k√limn→∞an=k√a
- limn→∞|an|=|limn→∞an|
- ถ้า |c|<1 แล้ว limn→∞cn=0
ถ้า |c|>1 แล้ว limn→∞cn หาค่าไม่ได้
- limn→∞1nk=0 และ limn→∞nk หาค่าไม่ได้
ลิมิตของเศษส่วนพหุนาม
การหาค่าของ limn→∞anbn เมื่อ an และ bn เป็นฟังก์ชันพหุนาม สามารถสรุปได้ดังนี้
1. กำลังสูงสุดของ n ในตัวเศษ = ตัวส่วน คำตอบคือ สปส. กำลังสูงสุดของ n ในเศษสปส. กำลังสูงสุดของ n ในส่วน
ตัวอย่างของลิมิตเศษส่วนพหุนามที่ กำลังสูงสุดของ n ในตัวเศษ = ตัวส่วน
limn→∞2n2−n−16n2+1=13 "กำลังสูงสุดของตัวเศษและตัวส่วนคือ 2"
2. กำลังสูงสุดของ n ในตัวเศษ < ตัวส่วน คำตอบคือ 0
ตัวอย่างของลิมิตเศษส่วนพหุนามที่ กำลังสูงสุดของ n ในตัวเศษ < ตัวส่วน
limn→∞5n+1n2+6n+6=0 "กำลังสูงสุดของตัวเศษคือ 1 และกำลังสูงสุดของตัวเศษคือ 2"
3. กำลังสูงสุดของ n ในตัวเศษ > ตัวส่วน คำตอบคือ ไม่มีลิมิต (ลำดับลู่ออก)
ตัวอย่างของลิมิตเศษส่วนพหุนามที่ กำลังสูงสุดของ n ในตัวเศษ > ตัวส่วน
limn→∞n2+3n+39n+1 "กำลังสูงสุดของตัวเศษคือ 2 และกำลังสูงสุดของตัวส่วนคือ 1"
ลิมิตของฟังก์ชันเอกโพเนนเชียล
การหาค่าของ limn→∞anbn เมื่อ an และ bn เป็นฟังก์ชันเอกโพเนนเชียล สามารถสรุปได้ดังนี้
1. ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ = ตัวส่วน คำตอบคือ ให้ตัดพจน์อื่นทิ้งแล้วคำนวณ
ตัวอย่างลิมิตของฟังก์ชันเอกโพเนนเชียลที่ ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ = ตัวส่วน
limn→∞3n+2n−13n+2+2n−1=limn→∞3n3n+2=132=19
"ฐานของเลขยกกำลังที่มีค่ามากสุดของตัวเศษและตัวส่วนคือ 3"
2. ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ < ตัวส่วน คำตอบคือ 0
ตัวอย่างลิมิตของฟังก์ชันเอกโพเนนเชียลที่ ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ < ตัวส่วน
limn→∞22n−32n+12n+52n=limn→∞−32n+152n=0 "ฐานของเลขยกกำลังที่มีค่ามากสุดของตัวเศษ 3 และตัวส่วนคือ 5"
3. ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ > ตัวส่วน คำตอบคือ ไม่มีลิมิต "ลำดับลู่ออก"
ตัวอย่างลิมิตของฟังก์ชันเอกโพเนนเชียลที่ ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ > ตัวส่วน
limn→∞7n−2n−152n+2n−1=limn→∞7n52nไม่มีลิมิต "ฐานของเลขยกกำลังที่มีค่ามากสุดของตัวเศษคือ 7 และตัวส่วนคือ 5"
ลิมิตของลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต
ลิมิตของลำดับเลขคณิต
พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตคือ an=a1+(n−1)d
ดังนั้นเราจะได้ว่า
limn→∞an=limn→∞a1+(n−1)d={∞ เมื่อd>0−∞เมื่อd<0a1 เมื่อd=0
ลิมิตของลำดับเรขาคณิต
พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือ an=a1r(n−1)
ดังนั้นเราจะได้ว่า
limn→∞an=limn→∞a1r(n−1)={∞เมื่อ|r|>1a1เมื่อr=1ไม่มีลิมิตเมื่อr=−10เมื่อ|r|<1