ประพจน์ที่สมมูลกัน หมายถึง ประพจน์ที่ ไม่ว่าค่าความจริงของประพจน์ย่อยจะเป็นอะไรก็ตาม สุดท้ายจะต้องได้ค่าความจริงที่เหมือนกันเสมอ
การตรวจสอบการสมมูลกันโดยการสร้างตารางค่าความจริง
ในการตรวจสอบการสมมูลนั้นเราจะใช้วิธีการสร้างตารางค่าความจริงของทั้งสองประพจน์เพื่อเปรียบเทียบค่าความจริงในทุกกรณี
เช่น
ตรวจสอบการสมมูลโดยการสร้างตารางค่าความจริง
p∧(q∨r) สมมูลกับ (p∧q)∨(p∧r) หรือไม่
จากสองประพจน์ที่กำหนดให้ มีประพจน์ย่อยทั้งหมด 3 ประพจน์ ดังนั้น มีกรณีทั้งหมด 23=8 ประพจน์
สร้างตารางค่าความจริงของ p∧(q∨r) จะได้
| p | q | r | q∨r | p∧(q∨r) |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | T |
| T | F | T | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | T | F |
| F | T | F | T | F |
| F | F | T | T | F |
| F | F | F | F | F |
สร้างตารางค่าความจริงของ (p∧q)∨(p∧r)
| p | q | r | p∧q | p∧r | (p∧q)∨(p∧r) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | F | T |
| T | F | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F | F |
| F | T | T | F | F | F |
| F | T | F | F | F | F |
| F | F | T | F | F | F |
| F | F | F | F | F | F |
เปรียบเทียบค่าความจริงของทั้งสองประพจน์
| p | q | r | p∧(q∨r) | (p∧q)∨(p∧r) |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | T |
| T | F | T | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | F | F |
| F | T | F | F | F |
| F | F | T | F | F |
| F | F | F | F | F |
จะเห็นว่าในทุกกรณีของประพจน์ย่อย ทั้งสองประพจน์จะให้ค่าความจริงที่เหมือนกันเสมอ
ดังนั้นทั้งสองประพจน์สมมูลกัน
สมมูลกัน
ตรวจสอบการสมมูลโดยการสร้างตารางค่าความจริง
p∨(q→r) สมมูลกับ (p∨q)→r หรือไม่
จากสองประพจน์ที่กำหนดให้ มีประพจน์ย่อยทั้งหมด 3 ประพจน์ ดังนั้น มีกรณีทั้งหมด 23=8 ประพจน์
สร้างตารางค่าความจริงของ p∨(q→r) จะได้
| p | q | r | q→r | p∨(q→r) |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T |
| T | T | F | F | T |
| T | F | T | T | T |
| T | F | F | T | T |
| F | T | T | T | T |
| F | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T |
| F | F | F | T | T |
สร้างตารางค่าความจริงของ (p∨q)→r จะได้
| p | q | r | p∨q | (p∨q)→r |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | F |
| T | F | T | T | T |
| T | F | F | T | F |
| F | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F |
| F | F | T | F | T |
| F | F | F | F | T |
เปรียบเทียบประพจน์ทั้งสอง จะได้
| p | q | r | p∨(q→r) | (p∨q)→r |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | F |
| T | F | T | T | T |
| T | F | F | T | F |
| F | T | T | T | T |
| F | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T |
| F | F | F | T | T |
จากตารางด้านบนจะเห็นว่ามี 2 กรณีที่ได้ค่าความจริงออกมาไม่เหมือนกัน เราจึงสรุปได้ว่าสองประพจน์ที่กำหนดให้ไม่สมมูลกัน
p∨(q→r) ไม่สมมูลกับ (p∨q)→r
จากตัวอย่างด้านบนจะเห็นว่าวิธีการสร้างตารางค่าความจริงจะต้องใช้เวลานานมาก ผิดพลาดได้ง่าย และต้องเขียนเยอะอีกต่างหาก วิธีนี้จึงไม่เป็นที่นิยม และไม่ค่อยมีคนใช้หรอก โดยทั่วไปเราจะใช้การลดรูปประพจน์ หรือการจัดรูปประพจน์ช่วยในการทำโจทย์ประเภทนี้มากกว่า
รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรรู้
1. รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกับประพจน์ที่มีตัวเชื่อมเป็นถ้าแล้ว (→) เรามักจะเปลี่ยนเครื่องหมายถ้าแล้ว (→) ให้อยู่ในรูปของเครื่องหมายหรือ (∨)
ถ้าแล้ว
p→q≡∼p∨qp→q≡∼q→∼q(p→q)∧(q→p)≡p↔q
2. การกระจายนิเสธ (∼) โดยปกติเราจะกระจายนิเสธเข้าไปในตัวเชื่อมที่เป็นและ (∧) กับตัวเชื่อมหรือ (∨) เท่านั้น ถ้าเป็นตัวเชื่อมอื่นให้เปลี่ยนเป็นตัวเชื่อม 'หรือ' หรือตัวเชื่อม 'และ' ก่อน
นิเสธ
∼(∼p)≡p∼(p∨q)≡∼p∧∼q∼(p∧q)≡∼p∨∼q
3. การกระจายตัวเชื่อมและ (∧) หรือการกระจายตัวเชื่อมหรือ (∨)
การกระจาย
p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r)p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r)
4. การสมูลกันของการเชื่อมประพจน์ด้วย p กับ ∼p
ประพจน์ย่อยเชื่อมกับนิเสธ
p∨∼p≡Tp∧∼p≡Fp→∼p≡∼p∼p→p≡pp↔∼p≡F
5. การสมมูลกันในกรณีที่ประพจน์ใดประพจน์หนึ่งที่รู้ค่าความจริงแล้ว
ประพจน์ที่รู้ค่าความจริง
p∨T≡Tp∨F≡pp∧T≡pp∧F≡Fp→T≡Tp→F≡∼pT→p≡pF→p≡Tp↔T≡pp↔F≡∼p
การตรวจสอบการสมมูลกันโดยใช้การลดรูปประพจน์ช่วย
การลดรูปประพจน์ คือ การที่เราจะทำให้ประพจน์ยาว ๆ ให้สั้นลงและดูง่ายขึ้น โดยจะใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันด้านบนเป็นตัวช่วย
การตรวจสอบสมมูลโดยใช้การลดรูปประพจน์ช่วย
(p→q)∨(q→) สมมูลกับ (p∧q)→(p∨r) หรือไม่
ในการใช้การลดรูปประพจน์ช่วยนั้นเราจะลดรูปประพจน์ที่ละตัว อันนี้เรามาตัวตัวแรกกัน
(p→q)∨(q→)≡(∼p∨q)∨(∼q∨r)≡∼p∨q∨∼q∨r≡∼p∨(q∨∼q)∨r≡∼p∨T∨r≡T
จะได้ว่า (p→q)∨(q→)≡T
ต่อไปเรามาดูตัวที่สอง
(p∧q)→(p∨r)≡∼(p∧q)∨(p∨r)≡(∼p∨∼q)∨(p∨r≡∼p∨∼q∨p∨r≡∼p∨p∨∼q∨r≡(∼p∨p)∨∼q∨r≡T∨∼q∨r≡T
จะได้ว่า (p∧q)→(p∨r)≡T
จากทั้งสองส่วนจะได้ว่า (p→q)∨(q→)≡T≡(p∧q)→(p∨r) ดังนั้นทั้งสองประพจน์ที่กำหนดให้สมมูลกัน
ประพจน์ที่กำหนดให้ทั้งสองประพจน์สมมูลกัน
รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ
1. รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกับประพจน์ที่มีตัวเชื่อมเป็นถ้าแล้ว (→) เรามักจะเปลี่ยนเครื่องหมายถ้าแล้ว (→) ให้อยู่ในรูปของเครื่องหมายหรือ (∨)
- p→q≡∼p∨q
- p→q≡∼q→∼q
- (p→q)∧(q→p)≡p↔q
2. การกระจายนิเสธ (∼) โดยปกติเราจะกระจายนิเสธเข้าไปในตัวเชื่อมที่เป็นและ (∧) กับตัวเชื่อมหรือ (∨) เท่านั้น ถ้าเป็นตัวเชื่อมอื่นให้เปลี่ยนเป็นตัวเชื่อม 'หรือ' หรือตัวเชื่อม 'และ' ก่อน
- ∼(p∨q)≡∼p∧∼q
- ∼(p∧q)≡∼p∨∼q
3. การกระจายตัวเชื่อมและ (∧) หรือการกระจายตัวเชื่อมหรือ (∨)
- p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r)
- p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r)
4. การสมูลกันของการเชื่อมประพจน์ด้วย p กับ ∼p
- p∨∼p≡T
- p∧∼p≡F
- p→∼p≡∼p
- ∼p→p≡p
- p↔∼p≡F
- p∨∼p≡T
- เนื่องจาก p กับ ∼p มีค่าความจริงตรงข้ามอันแสดงว่าต้องมีตัวนึ่งเป็นจริงเสมอพอตัวเชื่อมเป็นหรือ จึงได้ว่าค่าความจริงเป็นจริงเสมอ
- p∧∼p≡F
- เนื่องจาก p กับ ∼p มีค่าความจริงตรงข้ามอันแสดงว่าไม่มีทางที่ทั้งสองประพจน์จะเป็นจริงทั้งคู่ จึงได้ว่าค่าความจริงเป็นเท็จเสมอ
- p→∼p≡∼p
- ถ้า p มีค่าความจริงเป็นจริงจะได้ T→F ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ
- ถ้า p มีค่าความจริงเป็นเท็จจะได้ F→T ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง
- จากทั้งสองกรณีได้ว่าค่าความจริงที่ได้จะตรงข้ามกับ p เสมอ จึงได้ว่าสมมูลกับ ∼p
- ∼p→p≡p
- ถ้า p มีค่าความจริงเป็นจริงจะได้ F→T ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง
- ถ้า p มีค่าความจริงเป็นเท็จจะได้ T→F ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ
- จากทั้งสองกรณีได้ว่าค่าความจริงที่ได้จะเหมือนกับ p เสมอ จึงได้ว่าสมมูลกับ p
- p↔∼p≡F
- เนื่องจาก p กับ ∼p มีค่าความจริงตรงข้ามอันแสดงว่าไม่มีทางที่ทั้งสองประพจน์จะมีค่าความจริงเหมือนกัน จึงได้ว่าค่าความจริงเป็นเท็จเสมอ
5. การสมมูลกันในกรณีที่ประพจน์ใดประพจน์หนึ่งที่รู้ค่าความจริงแล้ว
- p∨T≡T
- p∨F≡p
- p∧T≡p
- p∧F≡F
- p→T≡T
- p→F≡∼p
- T→p≡p
- F→p≡T
- p↔T≡p
- p↔F≡∼p