การสมมูลกันและการลดรูปประพจน์
(logical equivalence and statement simplification)

ประพจน์ที่สมมูลกัน หมายถึง ประพจน์ที่ ไม่ว่าค่าความจริงของประพจน์ย่อยจะเป็นอะไรก็ตาม สุดท้ายจะต้องได้ค่าความจริงที่เหมือนกันเสมอ

การตรวจสอบการสมมูลกันโดยการสร้างตารางค่าความจริง

ในการตรวจสอบการสมมูลนั้นเราจะใช้วิธีการสร้างตารางค่าความจริงของทั้งสองประพจน์เพื่อเปรียบเทียบค่าความจริงในทุกกรณี

เช่น

ตรวจสอบการสมมูลโดยการสร้างตารางค่าความจริง

p(qr) สมมูลกับ (pq)(pr) หรือไม่

จากสองประพจน์ที่กำหนดให้ มีประพจน์ย่อยทั้งหมด 3 ประพจน์ ดังนั้น มีกรณีทั้งหมด 23=8 ประพจน์ 

สร้างตารางค่าความจริงของ p(qr) จะได้

p q r qr p(qr)
T T T T T
T T F T T
T F T T T
T F F F F
F T T T F
F T F T F
F F T T F
F F F F F

 

 

สร้างตารางค่าความจริงของ (pq)(pr)

p q r pq pr (pq)(pr) 
T T T T T T
T T F T F T
T F T F T T
T F F F F F
F T T F F F
F T F F F F
F F T F F F
F F F F F F

 

เปรียบเทียบค่าความจริงของทั้งสองประพจน์

p q r p(qr) (pq)(pr) 
T T T T T
T T F T T
T F T T T
T F F F F
F T T F F
F T F F F
F F T F F
F F F F F

จะเห็นว่าในทุกกรณีของประพจน์ย่อย ทั้งสองประพจน์จะให้ค่าความจริงที่เหมือนกันเสมอ

ดังนั้นทั้งสองประพจน์สมมูลกัน

สมมูลกัน  


 

ตรวจสอบการสมมูลโดยการสร้างตารางค่าความจริง

p(qr) สมมูลกับ (pq)r หรือไม่

 จากสองประพจน์ที่กำหนดให้ มีประพจน์ย่อยทั้งหมด 3 ประพจน์ ดังนั้น มีกรณีทั้งหมด 23=8 ประพจน์

สร้างตารางค่าความจริงของ p(qr) จะได้

p q r qr p(qr)
T T T T T
T T F F T
T F T T T
T F F T T
F T T T T
F T F F F
F F T T T
F F F T T

สร้างตารางค่าความจริงของ (pq)r จะได้

p q r pq (pq)r
T T T T T
T T F T F
T F T T T
T F F T F
F T T T T
F T F T F
F F T F T
F F F F T

 

เปรียบเทียบประพจน์ทั้งสอง จะได้

p q r p(qr) (pq)r
T T T T T
T T F T F
T F T T T
T F F T F
F T T T T
F T F F F
F F T T T
F F F T T
 

 

จากตารางด้านบนจะเห็นว่ามี 2 กรณีที่ได้ค่าความจริงออกมาไม่เหมือนกัน เราจึงสรุปได้ว่าสองประพจน์ที่กำหนดให้ไม่สมมูลกัน

 p(qr) ไม่สมมูลกับ (pq)r 

จากตัวอย่างด้านบนจะเห็นว่าวิธีการสร้างตารางค่าความจริงจะต้องใช้เวลานานมาก ผิดพลาดได้ง่าย และต้องเขียนเยอะอีกต่างหาก วิธีนี้จึงไม่เป็นที่นิยม และไม่ค่อยมีคนใช้หรอก โดยทั่วไปเราจะใช้การลดรูปประพจน์ หรือการจัดรูปประพจน์ช่วยในการทำโจทย์ประเภทนี้มากกว่า

รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรรู้

1. รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกับประพจน์ที่มีตัวเชื่อมเป็นถ้าแล้ว () เรามักจะเปลี่ยนเครื่องหมายถ้าแล้ว () ให้อยู่ในรูปของเครื่องหมายหรือ ()

ถ้าแล้ว

pqpqpqq→∼q(pq)(qp)pq

2. การกระจายนิเสธ () โดยปกติเราจะกระจายนิเสธเข้าไปในตัวเชื่อมที่เป็นและ () กับตัวเชื่อมหรือ () เท่านั้น ถ้าเป็นตัวเชื่อมอื่นให้เปลี่ยนเป็นตัวเชื่อม 'หรือ' หรือตัวเชื่อม 'และ' ก่อน

นิเสธ

(p)p(pq)pq(pq)pq

3. การกระจายตัวเชื่อมและ () หรือการกระจายตัวเชื่อมหรือ ()

การกระจาย

p(qr)(pq)(pr)p(qr)(pq)(pr)

4. การสมูลกันของการเชื่อมประพจน์ด้วย p กับ p

ประพจน์ย่อยเชื่อมกับนิเสธ

ppTppFp→∼pppppp↔∼pF

5. การสมมูลกันในกรณีที่ประพจน์ใดประพจน์หนึ่งที่รู้ค่าความจริงแล้ว

ประพจน์ที่รู้ค่าความจริง

pTTpFppTppFFpTTpFpTppFpTpTppFp

การตรวจสอบการสมมูลกันโดยใช้การลดรูปประพจน์ช่วย

การลดรูปประพจน์ คือ การที่เราจะทำให้ประพจน์ยาว ๆ ให้สั้นลงและดูง่ายขึ้น โดยจะใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันด้านบนเป็นตัวช่วย

การตรวจสอบสมมูลโดยใช้การลดรูปประพจน์ช่วย

(pq)(q) สมมูลกับ (pq)(pr) หรือไม่

ในการใช้การลดรูปประพจน์ช่วยนั้นเราจะลดรูปประพจน์ที่ละตัว อันนี้เรามาตัวตัวแรกกัน

(pq)(q)(pq)(qr)pqqrp(qq)rpTrT

จะได้ว่า (pq)(q)T

ต่อไปเรามาดูตัวที่สอง 

(pq)(pr)(pq)(pr)(pq)(prpqprppqr(pp)qrTqrT

จะได้ว่า (pq)(pr)T

จากทั้งสองส่วนจะได้ว่า (pq)(q)T(pq)(pr) ดังนั้นทั้งสองประพจน์ที่กำหนดให้สมมูลกัน

ประพจน์ที่กำหนดให้ทั้งสองประพจน์สมมูลกัน

รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ

1. รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกับประพจน์ที่มีตัวเชื่อมเป็นถ้าแล้ว () เรามักจะเปลี่ยนเครื่องหมายถ้าแล้ว () ให้อยู่ในรูปของเครื่องหมายหรือ ()

  • pq≡∼pq
  • pq≡∼q→∼q
  • (pq)(qp)pq

2. การกระจายนิเสธ () โดยปกติเราจะกระจายนิเสธเข้าไปในตัวเชื่อมที่เป็นและ () กับตัวเชื่อมหรือ () เท่านั้น ถ้าเป็นตัวเชื่อมอื่นให้เปลี่ยนเป็นตัวเชื่อม 'หรือ' หรือตัวเชื่อม 'และ' ก่อน

  • (pq)≡∼pq
  • (pq)≡∼pq

3. การกระจายตัวเชื่อมและ () หรือการกระจายตัวเชื่อมหรือ ()

  • p(qr)(pq)(pr)
  • p(qr)(pq)(pr)

4. การสมูลกันของการเชื่อมประพจน์ด้วย p กับ p

  • ppT
  • ppF
  • p→∼p≡∼p
  • ppp
  • p↔∼pF
  • ppT
    • เนื่องจาก p กับ p มีค่าความจริงตรงข้ามอันแสดงว่าต้องมีตัวนึ่งเป็นจริงเสมอพอตัวเชื่อมเป็นหรือ จึงได้ว่าค่าความจริงเป็นจริงเสมอ
  • ppF 
    • เนื่องจาก p กับ p มีค่าความจริงตรงข้ามอันแสดงว่าไม่มีทางที่ทั้งสองประพจน์จะเป็นจริงทั้งคู่ จึงได้ว่าค่าความจริงเป็นเท็จเสมอ
  • p→∼p≡∼p
    • ถ้า p มีค่าความจริงเป็นจริงจะได้ TF ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ
    • ถ้า p มีค่าความจริงเป็นเท็จจะได้ FT ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง
    • จากทั้งสองกรณีได้ว่าค่าความจริงที่ได้จะตรงข้ามกับ p เสมอ จึงได้ว่าสมมูลกับ p
  • ppp
    • ถ้า p มีค่าความจริงเป็นจริงจะได้ FT ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง
    • ถ้า p มีค่าความจริงเป็นเท็จจะได้ TF ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ
    • จากทั้งสองกรณีได้ว่าค่าความจริงที่ได้จะเหมือนกับ p เสมอ จึงได้ว่าสมมูลกับ p
  • p↔∼pF
    • เนื่องจาก p กับ p มีค่าความจริงตรงข้ามอันแสดงว่าไม่มีทางที่ทั้งสองประพจน์จะมีค่าความจริงเหมือนกัน จึงได้ว่าค่าความจริงเป็นเท็จเสมอ

5. การสมมูลกันในกรณีที่ประพจน์ใดประพจน์หนึ่งที่รู้ค่าความจริงแล้ว

  • pTT
  • pFp
  • pTp
  • pFF
  • pTT
  • pF≡∼p
  • Tpp
  • FpT
  • pTp
  • pF≡∼p
คำคล้าย : การสมมูลกันและการลดรูปประพจน์
Under Growing
"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า
คอร์สแนะนำ
หนังสือแนะนำ
รายละเอียดการใช้งานคุกกี้

เพื่อประโยชน์และประสบการณ์ที่ดีในการใช้งานเว็บไซต์ของ บริษัท โอเพ่นดูเรียน จํากัด (“โอเพ่นดูเรียน”) โอเพ่นดูเรียนจึงใช้คุกกี้บนเว็บไซต์ของบริษัท ทั้งนี้ คุณสามารถศึกษาเพิ่มเติม เกี่ยวกับนโยบายคุกกี้ของโอเพ่นดูเรียนได้ที่ นโยบายคุกกี้ และคุณสามารถปฏิเสธคุกกี้ได้