ประโยคเปิด
ประโยคเปิด คือประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่มีตัวแปร ประโยคเปิดไม่สามารถบอกค่าความจริงได้ แต่ถ้าแทนค่าตัวแปรลงไป ประโยคเปิดจะกลายเป็นประพจน์ กล่าวคือสามารถบอกค่าความจริงได้
ตัวอย่างของประโยคเปิด
$x + 3 = 5$
เป็นประโยคเปิด เพราะเราไม่ทราบว่า $x$ มีค่าเท่าไร จึงไม่สามารถบอกได้ว่าประโยคนี้เป็นจริงหรือเท็จ
หากแทนค่า $x$ ด้วย $2$ เราสามารถบอกได้ว่าประโยคนี้เป็นจริง ซึ่ง $2 + 3 = 5$ เป็นประพจน์
หรือหากแทนค่า $x$ ด้วย $1$ เราสามารถบอกได้ว่าประโยคนี้เป็นเท็จ ซึ่ง $1 + 3 = 5$ ก็ถือว่าเป็นประพจน์เช่นกัน
เขาเป็นนักฟุตบอล
เป็นประโยคเปิดเช่นกัน โดยตัวแปรของประโยคนี้คือ "เขา" ซึ่งเราไม่ทราบว่าหมายถึงใคร จึงบอกไม่ได้ว่าประโยคนี้เป็นจริงหรือเท็จ
หากแทน "เขา" ด้วย "ลีซอ" ประโยคนี้ก็จะกลายเป็นประพจน์ เพราะเราสามารถบอกได้ว่าเป็นจริง
ตัวบ่งปริมาณ
นอกจากการแทนค่าตัวแปรแล้ว อีกหนึ่งวิธีที่สามารถทำให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์ได้ คือการเติมตัวบ่งปริมาณหน้าประโยคเปิดนั่นเอง
ตัวบ่งปริมาณมี $2$ ชนิด คือ
- for all (ทุกตัว) สัญลักษณ์คือ $\forall$
- for some หรือ there exists (บางตัว) สัญลักษณ์ $\exists$
ตัวอย่างการเติมตัวบ่งปริมาณ
$\forall x [x + x = 2x]$
อ่านว่า "สำหรับ $x$ ทุกตัว $x$ บวก $x$ เท่ากับ $2x$"
$\exists x [(x = 0) \rightarrow (x^2 > 0)]$
อ่านว่า "มี $x$ บางตัว ซึ่งถ้า $x$ เท่ากับ $0$ แล้ว $x^2$ มากกว่า $0$"
ค่าความจริงของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ
การพิจารณาค่าความจริงของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณนั้น ต้องพิจารณาจากเอกภพสัมพัทธ์ โดยมีวิธีการพิจารณาดังนี้
| ข้อความ | เงื่อนไขที่ทำให้จริง | เงื่อนไขที่ทำให้เท็จ |
| $\forall x [P(x)]$ | $x$ ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ทำให้ $P(x)$ เป็นจริง | มี $x$ อย่างน้อย $1$ ตัว ในเอกภพสัมพัทธ์ ทำให้ $P(x)$ เป็นเท็จ |
| $\exists x [P(x)]$ | มี $x$ อย่างน้อย $1$ ตัว ในเอกภพสัมพัทธ์ ทำให้ $P(x)$ เป็นจริง | $x$ ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ทำให้ $P(x)$ เป็นเท็จ |
ตัวอย่างการหาค่าความจริงของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ
$\forall x [x \geq 1]$ เมื่อ $U = \{ 0,1,2,3,4 \}$
แทนค่า $x=0$ จะได้ว่า $0 \geq 1$ เป็นเท็จ
ดังนั้น เราสรุปได้เลยว่าประพจน์นี้เป็นเท็จ เพราะสำหรับ for all นั้น $x$ ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์จะต้องทำให้ $P(x)$ เป็นจริง ประพจน์จึงจะเป็นจริง
$\exists x [x^2 + 1 = (x+1)^2]$ เมื่อ $U$ คือเซตของจำนวนจริง
แทนค่า $x = 0$ จะได้ว่า
\begin{eqnarray*}
0^2 + 1 &=& (0+1)^2\\
0 + 1 &=& 1^2\\
1 &=& 1
\end{eqnarray*}
เป็นจริง เราสรุปได้เลยว่าประพจน์นี้เป็นจริง เพราะสำหรับ for some นั้น ขอแค่มี $x$ เพียงตัวเดียวในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ $P(x)$ เป็นจริง ประพจน์ก็จะเป็นจริงแล้ว
ตัวอย่างการหาค่าความจริงเมื่อมีประโยคเปิด 2 ประโยค
$\exists x [x^2 + x = 2] \wedge \exists x [x^2 = 2]$ เมื่อ $U$ คือเซตของจำนวนเต็มบวก
ถ้ามีประโยคเปิด $2$ ประโยค และมีตัวบ่งปริมาณแยกกัน เราจะพิจารณาทีละส่วน
พิจารณา $\exists x [x^2 + x = 2]$
แก้สมการ
\begin{eqnarray*}
x^2 + x &=& 2\\
x^2 + x - 2 &=& 0\\
(x + 2)(x - 1) &=& 0\\
x &=& -2, 1
\end{eqnarray*}
แสดงว่ามี $x = 1$ ที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ และทำให้ $x^2 + x = 2$ เป็นจริง
ดังนั้น $\exists x [x^2 + x = 2]$ มีค่าความจริงเป็นจริง
พิจารณา $\exists x [x^2 = 2]$
แก้สมการ
\begin{eqnarray*}
x^2 &=& 2\\
x &=& \pm \sqrt{2}
\end{eqnarray*}
หมายความว่า ไม่มี $x$ ตัวใดในเอกภพสัมพัทธ์ ที่ทำให้ $x^2 = 2$ เป็นจริงได้เลย
ดังนั้น $\exists x [x^2 = 2]$ เป็นเท็จ
นำประพจน์ทั้งสองส่วนมาเชื่อมกัน
\begin{eqnarray*}
\exists x [x^2 + x = 2] \wedge \exists x [x^2 = 2] &\equiv& F \wedge F\\
&\equiv& F
\end{eqnarray*}
$\exists x [x^2 + x = 2] \wedge \exists x [x^2 = 2]$ เป็นเท็จ
$\exists x [(x+3 > 5) \wedge (x \leq 2)]$ เมื่อ $U = \{2, 3, 4, 5\}$
ประโยคเปิด $2$ ประโยค คือ $x+3 > 5$ และ $x \leq 2$ มีตัวบ่งปริมาณ $\exists x$ ร่วมกัน
ในกรณีแบบนี้ ประพจน์จะเป็นจริงเมื่อมี $x$ อย่างน้อย $1$ ตัว ในเอกภพสัมพัทธ์ ที่ทำให้ประโยคเปิดทั้งสองเป็นจริงได้พร้อมกัน
ลองแทนค่า $x = 2$ จะได้ $2 + 3 > 5$ เป็นเท็จ และ $2 \leq 2$ เป็นเท็จ
ลองแทนค่า $x = 3$ จะได้ $3 + 3 > 5$ เป็นจริง และ $3 \leq 2$ เป็นเท็จ
ลองแทนค่า $x = 4$ จะได้ $4 + 3 > 5$ เป็นจริง และ $4 \leq 2$ เป็นเท็จ
ลองแทนค่า $x = 5$ จะได้ $5 + 3 > 5$ เป็นจริง และ $5 \leq 2$ เป็นเท็จ
แสดงว่าไม่มี $x$ ตัวใดในเอกภพสัมพัทธ์ ที่สามารถทำให้ประโยคเปิดทั้งสองเป็นจริงได้
$\exists x [(x+3 > 5) \wedge (x \leq 2)]$ เป็นเท็จ
สรุปเทคนิคการหาค่าความจริงของตัวบ่งปริมาณ
$\forall x [P(x)]$ ให้พยายามหา $x$ ที่เอามาแทนใน $P(x)$ แล้วเป็นเท็จ ถ้าเจอเพียงตัวเดียวก็สรุปได้เลยว่าเท็จ
$\exists x [P(x)]$ ให้พยายามหา $x$ ที่เอามาแทนใน $P(x)$ แล้วเป็นจริง ถ้าเจอเพียงตัวเดียวก็สรุปได้เลยว่าจริง