การบวกลบเมทริกซ์และคูณการเมทริกซ์ด้วยค่าคงตัว
ถ้า $A$ และ $B$ เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติเท่ากันโดยเขียนแทนด้วย $A=[a_{ij}]_{m\times n}$, $B=[b_{ij}]_{m\times n}$ และ $k$ เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า
$$\begin{eqnarray}A+B&=&[a_{ij}+b_{ij}]_{m\times n}\\
A-B&=&[a_{ij}-b_{ij}]_{m\times n}\\
kA&=&[ka_{ij}]_{m\times n}\end{eqnarray}$$
ตัวอย่างของการบวกเมทริกซ์ ให้ $A=\begin{bmatrix}1&2&4\\3&6&5 \end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}0&5&8\\1&3&2 \end{bmatrix}$ และ $k=5$ ดังนั้น
$$\begin{eqnarray}A+B&=&\begin{bmatrix}1&2&4\\3&6&5 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&5&8\\1&3&2 \end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix}1+0&2+5&4+8\\3+1&6+3&5+2 \end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix}1&7&12\\4&9&7 \end{bmatrix}\end{eqnarray}$$
และ
$$\begin{eqnarray}A-B&=&\begin{bmatrix}1&2&4\\3&6&5 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0&5&8\\1&3&2 \end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix}1-0&2-5&4-8\\3-1&6-3&5-2 \end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix}1&-3&-4\\2&3&3 \end{bmatrix}\end{eqnarray}$$
และ
$$\begin{eqnarray}5A&=&5\begin{bmatrix}1&2&4\\3&6&5 \end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix}5\cdot 1&5\cdot 2&5\cdot 4\\5\cdot 3&5\cdot 6&5\cdot 5 \end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix}5&10&20\\15&30&25 \end{bmatrix}\end{eqnarray}$$
สมบัติการบวกลบเมทริกซ์และการคูณเมทริกซ์ด้วยค่าคงตัว
ให้ $A, B, C, \bar{0}$ เป็น เมทริกซ์มีมิติ $m\times n$ และ $c, d$ เป็นจำนวนจริงใด ๆ จะได้ว่า
2. $A+B=B+A$
3. $A+(B+C)=(A+B)+C$
4. $A+\bar{0}=A=\bar{0}+A$
5. $A+(-A)=\bar{0}=(-A)+A$
6. $c(A+B)=cA+cB$
7. $cA+dA=(c+d)A$
8. $(cd)A=c(dA)$
9. $1\cdot A=A$
10. $-1\cdot A=-A$
11. $0\cdot A=\bar{0}$
การคูณเมทริกซ์
ถ้า $A=[a_{ij}]_{m\times n}$ และ $B=[b_{ij}]_{p\times q}$
$A\times B$ หาค่าได้เมื่อ $n=p$
$A\times B=C$ โดยที่ $C$ มีมิติ $m\times q$
ซึ่ง $C=[c_{ij}]_{m\times q}$ โดยที่
$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\ldots+a_{in}b_{nj}$$
เพื่อความง่ายต่อการเข้าใจจะขอยกตัวอย่างดังนี้
ตัวอย่างการคูณเมทริกซ์
ให้ $A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23} \end{bmatrix}_{2\times 3}$ และ $B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32}\end{bmatrix}_{3\times 2}$
$$\begin{eqnarray}A\times B&=&\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23} \end{bmatrix}_{2\times 3}\times \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32}\end{bmatrix}_{3\times 2}\\
&=&\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}\\
a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+ a_{13}b_{32}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+ a_{23}b_{32}\end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{bmatrix}_{2\times 2}\end{eqnarray}$$
ดังนั้นผลคูณของ $A$ กับ $B$ คือ $C=\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{bmatrix}_{2\times 2}$
ตัวอย่างการคูณเมทริกซ์
ให้ $A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6 \end{bmatrix}_{2\times 3}$ และ $B=\begin{bmatrix}1&1\\2&3\\5&0\end{bmatrix}_{3\times 2}$
$$\begin{eqnarray}A\times B&=&\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6 \end{bmatrix}_{2\times 3}\times \begin{bmatrix}1&1\\2&3\\5&0\end{bmatrix}_{3\times 2}\\
&=&\begin{bmatrix}1\cdot 1+2\cdot 2+3\cdot 5&1\cdot1+2\cdot 3+3\cdot 0\\4\cdot 1+5\cdot 2+6\cdot 5& 4\cdot 1+5\cdot 3+6\cdot 0 \end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix}20&7\\44&19\end{bmatrix}
\end{eqnarray}$$
ดังนั้นผลคูณของ $A$ กับ $B$ คือ $C=\begin{bmatrix}20&7\\44&19\end{bmatrix}_{2\times 2}$
สมบัติของเมทริกซ์เกี่ยวกับการคูณและทรานสโพส
ถ้า $A, B, C, D, E, F$ เป็นเมทริกซ์และ $k$ เป็นจำนวนจริง แล้ว
1. $A(BC)=(AB)C=ABC$
2. $\bar{0}\cdot A=\bar{0}, A\cdot \bar{0}=\bar{0}$ โดยที่ $\bar{0}$ แต่ละตัวเป็นเมทริกซ์ศูนย์ที่อาจมีมิติไม่เท่ากัน
3. $I_m\times A=A, A\times I_n=A$
4. $(kA)B=A(kB)=k(AB)$
5. $A(B+D)=AB+AD$
6. $(A+E)B=AB+EB$
7. $(A+ F)^t=A^t+ F^t$ และ $(A- F)^t=A^t- F^t$
8. $(AB)^t= B^tA^t$
9. $\left(A^t\right)^t=A$
10. $(kA)^t=kA^t$
ข้อควรระวัง ก่อนที่จะนำสมบัติของเมทริกซ์เกี่ยวกับการคูณ และทรานสโพสของเมทริกซ์ไปใช้
- กรณี $A,B,C, ..., F$ เป็นเมทริกซ์จตุรัสขนาด $n\times n$ จะได้ $\bar{0}, I_m$ และ $I_n$ มีมิติเป็น $n\times n$ ด้วยเช่นกัน
- กรณีอื่นๆ จะต้องระวังว่าสมบัติเหล่านี้จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์เหล่านี้มีมิติที่สามารถคูณกันได้