การบวกลบเมทริกซ์และคูณการเมทริกซ์ด้วยค่าคงตัว
ถ้า A และ B เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติเท่ากันโดยเขียนแทนด้วย A=[aij]m×n, B=[bij]m×n และ k เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า
A+B=[aij+bij]m×nA−B=[aij−bij]m×nkA=[kaij]m×n
ตัวอย่างของการบวกเมทริกซ์ ให้ A=[124365], B=[058132] และ k=5 ดังนั้น
A+B=[124365]+[058132]=[1+02+54+83+16+35+2]=[1712497]
และ
A−B=[124365]−[058132]=[1−02−54−83−16−35−2]=[1−3−4233]
และ
5A=5[124365]=[5⋅15⋅25⋅45⋅35⋅65⋅5]=[51020153025]
สมบัติการบวกลบเมทริกซ์และการคูณเมทริกซ์ด้วยค่าคงตัว
ให้ A,B,C,ˉ0 เป็น เมทริกซ์มีมิติ m×n และ c,d เป็นจำนวนจริงใด ๆ จะได้ว่า
2. A+B=B+A
3. A+(B+C)=(A+B)+C
4. A+ˉ0=A=ˉ0+A
5. A+(−A)=ˉ0=(−A)+A
6. c(A+B)=cA+cB
7. cA+dA=(c+d)A
8. (cd)A=c(dA)
9. 1⋅A=A
10. −1⋅A=−A
11. 0⋅A=ˉ0
การคูณเมทริกซ์
ถ้า A=[aij]m×n และ B=[bij]p×q
A×B หาค่าได้เมื่อ n=p
A×B=C โดยที่ C มีมิติ m×q
ซึ่ง C=[cij]m×q โดยที่
cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj
เพื่อความง่ายต่อการเข้าใจจะขอยกตัวอย่างดังนี้
ตัวอย่างการคูณเมทริกซ์
ให้ A=[a11a12a13a21a22a23]2×3 และ B=[b11b12b21b22b31b32]3×2
A×B=[a11a12a13a21a22a23]2×3×[b11b12b21b22b31b32]3×2=[a11b11+a12b21+a13b31a11b12+a12b22+a13b32a11b12+a12b22+a13b32a21b12+a22b22+a23b32]=[c11c12c21c22]2×2
ดังนั้นผลคูณของ A กับ B คือ C=[c11c12c21c22]2×2
ตัวอย่างการคูณเมทริกซ์
ให้ A=[123456]2×3 และ B=[112350]3×2
A×B=[123456]2×3×[112350]3×2=[1⋅1+2⋅2+3⋅51⋅1+2⋅3+3⋅04⋅1+5⋅2+6⋅54⋅1+5⋅3+6⋅0]=[2074419]
ดังนั้นผลคูณของ A กับ B คือ C=[2074419]2×2
สมบัติของเมทริกซ์เกี่ยวกับการคูณและทรานสโพส
ถ้า A,B,C,D,E,F เป็นเมทริกซ์และ k เป็นจำนวนจริง แล้ว
1. A(BC)=(AB)C=ABC
2. ˉ0⋅A=ˉ0,A⋅ˉ0=ˉ0 โดยที่ ˉ0 แต่ละตัวเป็นเมทริกซ์ศูนย์ที่อาจมีมิติไม่เท่ากัน
3. Im×A=A,A×In=A
4. (kA)B=A(kB)=k(AB)
5. A(B+D)=AB+AD
6. (A+E)B=AB+EB
7. (A+F)t=At+Ft และ (A−F)t=At−Ft
8. (AB)t=BtAt
9. (At)t=A
10. (kA)t=kAt
ข้อควรระวัง ก่อนที่จะนำสมบัติของเมทริกซ์เกี่ยวกับการคูณ และทรานสโพสของเมทริกซ์ไปใช้
- กรณี A,B,C,...,F เป็นเมทริกซ์จตุรัสขนาด n×n จะได้ ˉ0,Im และ In มีมิติเป็น n×n ด้วยเช่นกัน
- กรณีอื่นๆ จะต้องระวังว่าสมบัติเหล่านี้จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์เหล่านี้มีมิติที่สามารถคูณกันได้