จากโจทย์ เราสามารถวาดแผนผังพื้นที่ได้ดังนี้

สิ่งที่ต้องการคือพื้นที่ จึงกำหนดด้วย $y$ แล้วให้ความกว้างของพื้นที่เป็น $x$ (จะง่ายกว่าการให้ความยาวของพื้นที่เป็น $x$) จะได้ความยาวของพื้นที่เป็น $1,000-2x$

สร้างความสัมพันธ์ระหว่าง $x$ กับ $y$

\begin{eqnarray*}
\text{พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม} &=& \text{ความกว้าง} \times \text{ความยาว}\\
y &=& x(1,000-2x)\\
y &=& 1,000x-2x^2
\end{eqnarray*}

เมื่อได้ความสัมพันธ์ในรูปของ $y=f(x)$ เราจึงสามารถดำเนินการตามขั้นตอนการหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ได้

จาก $y=1,000x-2x^2$

จะได้ $y'=1,000-4x$

ให้ $c$ เป็นค่าวิกฤต จะได้ว่า $f'(c)=0$

\begin{eqnarray*}
1,000-4c &=& 0\\
1,000 &=& 4c\\
250 &=& c
\end{eqnarray*}

ตรวจสอบค่าที่ได้

$y''=-4<0$ แสดงว่า $c=250$ ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์

ดังนั้น จะได้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์คือ

\begin{eqnarray*}
y &=& x(1,000-2x)\\
&=& 250(1,000-2(250))\\
&=& 250(500)\\
&=& 125,000
\end{eqnarray*}

จากโจทย์ สามารถวาดรูปประกอบได้ดังนี้

สมมุติตัดกระดาษออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสความยาวด้านละ $x$ เซนติเมตร จะได้กระดาษส่วนที่เหลือยาวด้านละ $20-2x$ เมื่อพับตามรอยเส้นประจะได้กล่องที่มีความจุ เขียนแทนด้วย $y$ ดังนี้

\begin{eqnarray*}
\text{ความจุ} &=& \text{ความกว้าง} \times \text{ความยาว} \times \text{ความสูง}\\
y &=& (20-2x)(20-2x)(x)\\
&=& 4x^3-80x^2+400x
\end{eqnarray*}

จาก $y=4x^3-80x^2+400x$

จะได้ $y'=12x^2-160x+400$

ให้ $c$ เป็นค่าวิกฤต ดังนั้น $f'(c)=0$

\begin{eqnarray*}
12c^2-160c+400 &=& 0\\
3c^2-40c+100 &=& 0\\
(3c-10)(c-10) &=& 0\\
c &=& \frac{10}{3}, 10
\end{eqnarray*}

ตรวจสอบค่าที่ได้

$f''(x)=24x-160$
$f''\left (\frac{10}{3} \right ) = 24 \left ( \frac{10}{3} \right ) - 160 = -80 < 0$
$f''(10)=24(10)-160=80 > 0$

ดังนั้น $\displaystyle c=\frac{10}{3}$ ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และ $c=10$ ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

ต้องการให้ความจุมากที่สุด ดังนั้น เลือก $\displaystyle x=\frac{10}{3}$

จะได้ $\displaystyle y=\left[ 20-2 \left( \frac{10}{3} \right) \right] \left[ 20-2 \left( \frac{10}{3} \right) \right] \left( \frac{10}{3} \right) = \frac{16,000}{27}$

สมมุติให้ เขาลดราคาสินค้าลงชิ้นละ $x$ บาท จะได้ราคาสินค้าชิ้นละ $20-x$ บาท

ถ้าเขาลดราคาสินค้าชิ้นละ $x$ บาท จะขายสินค้าได้ $1,000+100x$ ชิ้น

ให้ $y$ แทนรายได้จากการขายสินค้า นั่นคือ

\begin{eqnarray*}
y &=& \text{ราคาสินค้า} \times \text{จำนวนชิ้น}\\
&=& (20-x)(1,000+100x)\\
&=& 20,000+1,000x-100x^2
\end{eqnarray*}

จาก $y=20,000+1,000x-100x^2$

จะได้ $y'=1,000-200x$

ให้ $c$ เป็นค่าวิกฤต ดังนั้น $f'(c)=0$

\begin{eqnarray*}
1,000-200c &=& 0\\
1,000 &=& 200c\\
5 &=& c
\end{eqnarray*}

ตรวจสอบค่าที่ได้

$f''(x)=-200$

$f''(5)=-200<0$ แสดงว่า $5$ ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์

ดังนั้น $f(5)=(20-5)(1,000+100(5))=(15)(1,500)=22,500$