มัธยฐานของข้อมูลไม่แจกแจงความถี่

ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่ เช่น $2,3,5,7,11$ จะได้ว่าตัวที่อยู่ตรงกลาง คือ $5$ ดังนั้นมัธยฐานของข้อมูลชุดนี้ คือ $5$

แต่ปัญหาจะเกิดถ้าเราเรียงข้อมูลชุดนี้ใหม่เป็น $2,5,11,7,3$ จะได้มัธยฐานเป็น $11$ อีกค่านึง จำไว้ว่าข้อมูลหนึ่งชุดจะต้องมีค่ามัธยฐานเพียงค่าเดียวเท่านั้น

ข้อสังเกตุ ถ้าข้อมูลชุดหนึ่งมีข้อมูลทั้งหมด $10$ ตัว จะได้ว่ามัธยฐาน คือ ข้อมูลตัวที่ $5.5$ ซึ่งในข้อมูลที่เรามีนั้นไม่มีตัวที่ $5.5$ แน่นอน

ดังนั้นเราจะหาตัวที่ $5.5$ ได้จากการหาค่าของ $\frac{\text{ตัวที่ 5}+\text{ตัวที่ 6}}{2}$

มัธยฐานของข้อมูลแจกแจงความถี่

ในทำนองเดียวกันกับข้อมูลไม่แจกแจงความถี่ นั้นคือ จะต้องหาตัวตรงกลางให้ได้

ดังนั้นขั้นแรกเราจะต้องหาให้ได้ว่าตัวตรงกลางอยู่ที่ไหน โดยตำแหน่งกลาง คือ ตำแหน่งที่ $\frac{n}{2}$ เช่น ข้อมูลคือ

ช่วง	จำนวน
$21-30$	$1$
$31-40$	$3$
$41-50$	$4$
$51-60$	$2$

ดังนั้นจำนวนทั้งหมด คือ $10$ และตำแหน่งตรงกลางคือ $\frac{10}{2}=5$

สร้างตารางความถี่สะสม จะได้

ช่วง	จำนวน	ความถี่สะสม
$21-30$	$1$	$1$
$31-40$	$3$	$4$
$41-50$	$4$	$8$
$51-60$	$2$	$10$

จากตารางจะเห็นว่า ตำแหน่งที่ $5$ อยู่ในอันตรภาคชั้นที่ $3$ แต่เราไม่รู้ว่าคะแนนเป็นเท่าไหร่ เราจึงจะมาหาว่าคะแนนที่สมควรเป็นค่ามัธยฐานนั้นคือเท่าใด โดยหลักการที่ใช้ในการคาดคะเนค่ามัธยฐานนั้นคือ ทุกคนที่อยู่ในอันตรภาคชั้นเดียวกันจะต้องมีระยะห่างที่เท่า ๆ กัน

ดูคะแนนในชั้นที่ $3$

ดังนั้น เราจะแบ่งคะแนนในชั้นนี้ออกเป็น $4$ ส่วนเท่า ๆ กัน เนื่องจาก $I=10$ แต่ละส่วนจะมีความกว้าง $\frac{10}{4}=2.5$

และจากตารางความถี่สะสมจะได้ว่า คนที่อยู่ที่ขอบล่างคือคนที่ $4$ คนที่อยู่ที่ขอบบนคือคนที่ $8$จะได้

 

 

จึงสรุปได้ว่า คนที่ $5$ มีค่า $43$

ดังนั้น มัธยฐานมีค่า $43$ ซึ่งเกิดจาก

$$\begin{eqnarray*} 40.5+10\cdot\frac{1}{4} & = & 40.5+10\cdot\left(\frac{5-4}{4}\right)\\  & = & \text{ขอบล่าง}+10\left(\frac{\frac{n}{2}-F_{\text{ชั้นก่อนหน้า}}}{f_{\text{ชั้นนั้น}}}\right) \end{eqnarray*}$$