ดิฟผลคูณและดิฟผลหาร, สูตรดิฟผลหาร, สูตรดิฟผลคูณ, กฎอนุพันธ์ของผลหาร, กฎอนุพันธ์ผลหาร, ล่างดิฟบนลบบนดิฟล่างส่วนล่างกำลังสอง
(product and quotient rule of derivative)

สูตรการหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน

สูตรผลคูณ  ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ที่ x ได้ แล้ว

(fg)(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)

ให้ F(x)=f(x)g(x)

F(x)=limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x)h=limh0f(x+h)g(x+h)f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)f(x)g(x)h=limh0(f(x+h)g(x+h)g(x)h+g(x)f(x+)f(x)h)=limh0f(x+h)limh0g(x+h)g(x)h+limh0g(x)limh0f(x+h)f(x)h=f(x)g(x)+g(x)f(x)

 

สำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประเภทนี้อาจใช้วิธีการกระจายตัวประกอบแล้วค่อยหาอนุพันธ์ด้วยสูตรพื้นฐานก็ได้ แต่การใช้สูตรผลคูณนี้ช่วยให้หาอนุพันธ์ได้เร็วขึ้น

วิธีการท่องจำสูตรผลคูณให้ขึ้นใจ

ฟังก์ชัน y=f(x)g(x) ให้ f(x) คือ "ตัวหน้า" และ g(x) คือ "ตัวหลัง" สูตรการหาอนุพันธ์ของ y คือ 

"หน้าดิฟหลัง บวก หลังดิฟหน้า"

 

ตัวอย่างการใช้สูตรหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 1

จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=(2x+1)(x25)

dydx=(2x+1)ddx(x25)+(x25)ddx(2x+1)=(2x+1)(2x)+(x25)(2)=4x2+2x+2x210=6x2+2x10

dydx=6x2+2x10


ตัวอย่างที่ 2

จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=(4x21)(7x3+x) 

dydx=(4x21)ddx(7x3+x)+(7x3+x)ddx(4x21)=(4x21)(21x2+1)+(7x3+x)(8x)=84x4+4x221x21+56x4+8x2=140x49x21

 dydx=140x49x21


ตัวอย่างที่ 3

จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=(x22x+3)(2x+5) 

dydx=(x22x+3)ddx(2x+5)+(2x+5)ddx(x22x+3)=(x22x+3)(2)+(2x+5)(2x2)=2x24x+6+4x24x+10x10=6x2+2x4

 

 dydx=6x2+2x4


ตัวอย่างที่ 4

กำหนด f(x)=(2x23x+1)(xx2) จงหา f(1) 

f(x)=(2x23x+1)ddx(xx2)+(xx2)ddx(2x23x+1)=(2x23x+1)(12x)+(xx2)(4x3)

f(1)=[2(1)23(1)+1][12(1)]+[(1)(1)2][4(1)3]=(2+3+1)(1+2)+(11)(43)=18+14=32

ดังนั้น f(1)=32

การหา f(a) นั้น เราไม่จำเป็นต้องจัดรูป f(x) ให้สมบูรณ์ก็ได้ เราสามารถแทนค่า a ได้เลย

 

สูตรการหาอนุพันธ์ของผลหารของฟังก์ชัน

สูตรผลหาร  ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x แล้ว

(fg)(x)=g(x)f(x)f(x)g(x)(g(x))2

ให้ F(x)=f(x)g(x)

F(x)=limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x)h=limh0f(x+h)g(x)f(x)g(x+h)hg(x)g(x+h)=limh0f(x+h)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x+h)+f(x)g(x)hg(x)g(x+h)=limh0[g(x)f(x+h)f(x)h][f(x)g(x+h)g(x)h]g(x)g(x+h)=limh0g(x)limh0f(x+h)f(x)hlimh0f(x)limh0g(x+h)g(x)hlimh0g(x)limh0g(x+h)=g(x)f(x)f(x)g(x)(g(x))2

สำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประเภทนี้ หากสามารถจัดรูปตัวเศษและตัวส่วนให้ตัดกันได้ ก็จะช่วยให้หาอนุพันธ์ได้ง่ายขึ้น

วิธีการท่องจำสูตรผลหารให้ขึ้นใจ

ฟังก์ชัน y=f(x)g(x) ให้ f(x) คือ "ตัวบน" และ g(x) คือ "ตัวล่าง" สูตรการหาอนุพันธ์ของ y คือ

"ล่างดิฟบน ลบบนดิฟล่าง ส่วนล่างยกกำลังสอง"

 

ตัวอย่างการใช้สูตรหาอนุพันธ์ของผลหารของอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 5

จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=3x12x+3

dydx=(2x+3)ddx(3x1)(3x1)ddx(2x+3)(2x+3)2=(2x+3)(3)(3x1)(2)(2x+3)2=6x+96x+2(2x+3)2=11(2x+3)2

dydx=11(2x+3)2 


ตัวอย่างที่ 6

จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=4x+1x25 

dydx=(x25)ddx(4x+1)(4x+1)ddx(x25)(x25)2=(x25)(4)(4x+1)(2x)(x25)2=4x2208x22x(x25)2=4x22x20(x25)2

 

dydx=4x22x20(x25)2 


ตัวอย่างที่ 7

กำหนด f(x)=2x21x+1  จงหา f(2)

f(x)=(x+1)ddx(2x21)(2x21)ddx(x+1)(x+1)2=(x+1)(4x)(2x21)(1)(x+1)2=4x2+4x2x2+1(x+1)2=2x2+4x+1(x+1)2

ดังนั้น f(2)=2(2)2+4(2)+1(2+1)2=179

f(2)=179 

 

ตัวอย่างการใช้สูตรอนุพันธ์ของผลคูณและผลหารของฟังก์ชัน เมื่อกำหนด f(a) มาให้

ตัวอย่างที่ 8 

กำหนดให้ f(4)=3 และ f(4)=5 จงหา g(4) เมื่อ

 

(1)  g(x)=xf(x)

สำหรับข้อนี้ g(x) อยู่ในรูปผลคูณของฟังก์ชัน

g(x)=xf(x)+f(x)ddxx=xf(x)+f(x)(12x12)=xf(x)+f(x)2x

ดังนั้น

g(4)=4f(4)+f(4)24=2(5)+32(2)=10+34=374

g(4)=374 

 

(2)  g(x)=f(x)x

สำหรับข้อนี้ g(x) อยู่ในรูปผลหารของฟังก์ชัน

g(x)=xf(x)f(x)ddx(x)x2=xf(x)f(x)x2

ดังนั้น

g(4)=4f(4)f(4)42=4(5)316=2316

g(4)=2316

คำคล้าย : ดิฟผลคูณและดิฟผลหาร, สูตรดิฟผลหาร, สูตรดิฟผลคูณ, กฎอนุพันธ์ของผลหาร, กฎอนุพันธ์ผลหาร, ล่างดิฟบนลบบนดิฟล่างส่วนล่างกำลังสอง
Under Growing
"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า
คอร์สแนะนำ
หนังสือแนะนำ
รายละเอียดการใช้งานคุกกี้

เพื่อประโยชน์และประสบการณ์ที่ดีในการใช้งานเว็บไซต์ของ บริษัท โอเพ่นดูเรียน จํากัด (“โอเพ่นดูเรียน”) โอเพ่นดูเรียนจึงใช้คุกกี้บนเว็บไซต์ของบริษัท ทั้งนี้ คุณสามารถศึกษาเพิ่มเติม เกี่ยวกับนโยบายคุกกี้ของโอเพ่นดูเรียนได้ที่ นโยบายคุกกี้ และคุณสามารถปฏิเสธคุกกี้ได้