สูตรการหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน
สูตรผลคูณ ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ที่ x ได้ แล้ว
(fg)′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)
ให้ F(x)=f(x)g(x)
F′(x)=limh→0f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)h=limh→0f(x+h)g(x+h)−f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)−f(x)g(x)h=limh→0(f(x+h)g(x+h)−g(x)h+g(x)f(x+)−f(x)h)=limh→0f(x+h)⋅limh→0g(x+h)−g(x)h+limh→0g(x)⋅limh→0f(x+h)−f(x)h=f(x)g′(x)+g(x)f′(x)
สำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประเภทนี้อาจใช้วิธีการกระจายตัวประกอบแล้วค่อยหาอนุพันธ์ด้วยสูตรพื้นฐานก็ได้ แต่การใช้สูตรผลคูณนี้ช่วยให้หาอนุพันธ์ได้เร็วขึ้น
วิธีการท่องจำสูตรผลคูณให้ขึ้นใจ
ฟังก์ชัน y=f(x)g(x) ให้ f(x) คือ "ตัวหน้า" และ g(x) คือ "ตัวหลัง" สูตรการหาอนุพันธ์ของ y คือ
"หน้าดิฟหลัง บวก หลังดิฟหน้า"
ตัวอย่างการใช้สูตรหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน
ตัวอย่างที่ 1
จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=(2x+1)(x2−5)
dydx=(2x+1)ddx(x2−5)+(x2−5)ddx(2x+1)=(2x+1)(2x)+(x2−5)(2)=4x2+2x+2x2−10=6x2+2x−10
dydx=6x2+2x−10
ตัวอย่างที่ 2
จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=(4x2−1)(7x3+x)
dydx=(4x2−1)ddx(7x3+x)+(7x3+x)ddx(4x2−1)=(4x2−1)(21x2+1)+(7x3+x)(8x)=84x4+4x2−21x2−1+56x4+8x2=140x4−9x2−1
dydx=140x4−9x2−1
ตัวอย่างที่ 3
จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=(x2−2x+3)(2x+5)
dydx=(x2−2x+3)ddx(2x+5)+(2x+5)ddx(x2−2x+3)=(x2−2x+3)(2)+(2x+5)(2x−2)=2x2−4x+6+4x2−4x+10x−10=6x2+2x−4
dydx=6x2+2x−4
ตัวอย่างที่ 4
กำหนด f(x)=(2x2−3x+1)(x−x2) จงหา f′(−1)
f′(x)=(2x2−3x+1)ddx(x−x2)+(x−x2)ddx(2x2−3x+1)=(2x2−3x+1)(1−2x)+(x−x2)(4x−3)
f′(−1)=[2(−1)2−3(−1)+1][1−2(−1)]+[(−1)−(−1)2][4(−1)−3]=(2+3+1)(1+2)+(−1−1)(−4−3)=18+14=32
ดังนั้น f′(−1)=32
การหา f′(a) นั้น เราไม่จำเป็นต้องจัดรูป f′(x) ให้สมบูรณ์ก็ได้ เราสามารถแทนค่า a ได้เลย
สูตรการหาอนุพันธ์ของผลหารของฟังก์ชัน
สูตรผลหาร ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x แล้ว
(fg)′(x)=g(x)f′(x)−f(x)g′(x)(g(x))2
ให้ F(x)=f(x)g(x)
F′(x)=limh→0f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)h=limh→0f(x+h)g(x)−f(x)g(x+h)hg(x)g(x+h)=limh→0f(x+h)g(x)−f(x)g(x)−f(x)g(x+h)+f(x)g(x)hg(x)g(x+h)=limh→0[g(x)f(x+h)−f(x)h]−[f(x)g(x+h)−g(x)h]g(x)g(x+h)=limh→0g(x)⋅limh→0f(x+h)−f(x)h−limh→0f(x)⋅limh→0g(x+h)−g(x)hlimh→0g(x)⋅limh→0g(x+h)=g(x)f′(x)−f(x)g′(x)(g(x))2
สำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประเภทนี้ หากสามารถจัดรูปตัวเศษและตัวส่วนให้ตัดกันได้ ก็จะช่วยให้หาอนุพันธ์ได้ง่ายขึ้น
วิธีการท่องจำสูตรผลหารให้ขึ้นใจ
ฟังก์ชัน y=f(x)g(x) ให้ f(x) คือ "ตัวบน" และ g(x) คือ "ตัวล่าง" สูตรการหาอนุพันธ์ของ y คือ
"ล่างดิฟบน ลบบนดิฟล่าง ส่วนล่างยกกำลังสอง"
ตัวอย่างการใช้สูตรหาอนุพันธ์ของผลหารของอนุพันธ์
ตัวอย่างที่ 5
จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=3x−12x+3
dydx=(2x+3)ddx(3x−1)−(3x−1)ddx(2x+3)(2x+3)2=(2x+3)(3)−(3x−1)(2)(2x+3)2=6x+9−6x+2(2x+3)2=11(2x+3)2
dydx=11(2x+3)2
ตัวอย่างที่ 6
จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=4x+1x2−5
dydx=(x2−5)ddx(4x+1)−(4x+1)ddx(x2−5)(x2−5)2=(x2−5)(4)−(4x+1)(2x)(x2−5)2=4x2−20−8x2−2x(x2−5)2=−4x2−2x−20(x2−5)2
dydx=−4x2−2x−20(x2−5)2
ตัวอย่างที่ 7
กำหนด f(x)=2x2−1x+1 จงหา f′(2)
f′(x)=(x+1)ddx(2x2−1)−(2x2−1)ddx(x+1)(x+1)2=(x+1)(4x)−(2x2−1)(1)(x+1)2=4x2+4x−2x2+1(x+1)2=2x2+4x+1(x+1)2
ดังนั้น f′(2)=2(2)2+4(2)+1(2+1)2=179
f′(2)=179
ตัวอย่างการใช้สูตรอนุพันธ์ของผลคูณและผลหารของฟังก์ชัน เมื่อกำหนด f′(a) มาให้
ตัวอย่างที่ 8
กำหนดให้ f(4)=3 และ f′(4)=−5 จงหา g′(4) เมื่อ
(1) g(x)=√xf(x)
สำหรับข้อนี้ g(x) อยู่ในรูปผลคูณของฟังก์ชัน
g′(x)=√xf′(x)+f(x)ddx√x=√xf′(x)+f(x)(12x−12)=√xf′(x)+f(x)2√x
ดังนั้น
g′(4)=√4f′(4)+f(4)2√4=2(−5)+32(2)=−10+34=−374
g′(4)=−374
(2) g(x)=f(x)x
สำหรับข้อนี้ g(x) อยู่ในรูปผลหารของฟังก์ชัน
g′(x)=xf′(x)−f(x)ddx(x)x2=xf′(x)−f(x)x2
ดังนั้น
g′(4)=4f′(4)−f(4)42=4(−5)−316=−2316
g′(4)=−2316