Processing math: 100%
อัตราการเปลี่ยนแปลงและนิยามอนุพันธ์, definition of differential, derivative definition, rate of change, นิยามของอนุพันธ์, นิยามแบบลิมิตของอนุพันธ์
(rate of change and derivative definition)

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

จากหัวข้อที่แล้ว ความชันของเส้นโค้ง y=f(x) ที่จุด (x,y) ใดๆ คือ limh0f(x+h)f(x)h ซึ่งเราเรียกค่าของลิมิตนี้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f นิยามได้ดังนี้

บทนิยาม ถ้า y=f(x) เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง และ limh0f(x+h)f(x)h หาค่าได้ แล้ว เรียกค่าของลิมิตนี้ว่า "อนุพันธ์ (derivative) ของฟังก์ชัน f ที่ x" เขียนแทนด้วย f(x),dydx,y หรือ ddxf(x)

จากบทนิยาม จะได้ว่า f(x)=limh0f(x+h)f(x)h

  • ถ้า limh0f(x+h)f(x)h หาค่าได้ จะกล่าวว่า ฟังก์ชัน f มีอนุพันธ์ที่ x หรือ ฟังก์ชัน f หาอนุพันธ์ได้ที่ x
  • ถ้า limh0f(x+h)f(x)h หาค่าไม่ได้ จะกล่าวว่า ฟังก์ชัน f ไม่มีอนุพันธ์ที่ x หรือ ฟังก์ชัน f หาอนุพันธ์ไม่ได้ที่ x

สัญลักษณ์ที่นิยมใช้แทนอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x นอกจาก f(x) คือ dydx นั้น อ่านว่า "ดีวายบายดีเอ็กซ์"

 

ตัวอย่างการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนิยาม

ตัวอย่างที่ 1

กำหนด f(x)=2x23x+2 จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x

f(x)=limh0[2(x+h)23(x+h)+2][2x23x+2]h=limh02(x2+2xh+h2)3x3h+22x2+3x2h=limh02x2+4xh+2h23x3h+22x2+3x2h=limh04xh+2h23hh=limh0h(4x+2h3)h=4x+2(0)3=4x3

f(x)=4x3 

สำหรับ a ใดๆ ที่อยู่ในโดเมนของ f อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x=a คือ f(a)=limh0f(a+h)f(a)h หรืออาจใช้สัญลักษณ์ ddxf(x)x=a แทน f(a) ซึ่งในการหาค่า f(a) อาจทำการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x ใดๆ หลังจากนั้นแทน x ด้วย a เช่น

ตัวอย่างการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ x=a

ตัวอย่างที่ 2

กำหนด f(x)=2x23x+2 จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x=2

ในตัวอย่างนี้ เราอาจหา f(2)=limh0f(2+h)f(2)h โดยตรงก็ได้ แต่ในกรณีนี้เราทราบแล้วว่า

f(x)=4x3

เราสามารถแทน x ด้วย 2 จะได้

f(2)=4(2)3=5

f(2)=5 

 

ตัวอย่างการจัดลิมิตให้อยู่ในรูปของอนุพันธ์ 

ตัวอย่างที่ 3

กำหนดให้ f(2)=13 และ f(3)=3 จงหา  limh0f(2+h)f(3+h)f(2)+f(3)10h

ทำการจัดรูปลิมิตให้อยู่ในรูปของอนุพันธ์

limh0f(2+h)f(3+h)f(2)+f(3)10h=limh0[f(2+h)f(2)][f(3+h)f(3)]10h=limh0f(2+h)f(2)10hlimh0f(3+h)f(3)10h=110limh0f(2+h)f(2)h110limh0f(3+h)f(3)h=110[f(2)f(3)]=110(133)=1

 limh0f(2+h)f(3+h)f(2)+f(3)10h=1

จากบทนิยามของอนุพันธ์ จะได้ว่า f(x) คือความชันของเส้นโค้ง y=f(x) ที่จุดใดๆ นั่นเอง และสำหรับ a ใดๆ ที่อยู่ในโดเมนของ f จะได้ว่า f(a) คือความชันของเส้นโค้ง y=f(x) ที่จุด (a,f(a)) เช่น จาก ตัวอย่างที่ 2 เราจะได้ว่าความชันของเส้นโค้ง y=2x23x+2 ที่จุด (2,4) คือ f(2)=5

 

อัตราการเปลี่ยนแปลง

ถ้ากำหนดฟังก์ชัน y=f(x) มีจุด P(x1,f(x1)) และจุด Q(x2,f(x2)) อยู่บนกราฟของฟังก์ชัน แล้ว ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด P และ Q คือ f(x2)f(x1)x2x1 เรียกอัตราส่วนนี้ว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ของ y เทียบกับ x เมื่อค่าของ x เปลี่ยนจาก x1 เป็น x2 นิยามได้ดังนี้

1.  อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x1 ถึง x2 คือ
f(x2)f(x1)x2x1

ตัวอย่างการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย  

ตัวอย่างที่ 4

จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ f(x)=x2+1 เมื่อค่า x เปลี่ยนจาก x1=1 เป็น x2=3

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง 1 ถึง 3 คือ
f(3)f(1)31=(32+1)(12+1)2=1022=4

 อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง 1 ถึง 3 เท่ากับ 4


ตัวอย่างที่ 5

จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของเส้นรอบวงของวงกลม เทียบกับรัศมี เมื่อรัศมีเปลี่ยนจาก 3 เซนติเมตร เป็น 5 เซนติเมตร 

สูตรการพื้นเส้นรอบวงของวงกลม คือ 2πr กำหนดให้ y=f(x) เป็นความสัมพันธ์ระหว่างเส้นรอบวงของวงกลม (y) กับรัศมีของวงกลม (x) จะได้สมการ f(x)=2πx ดังนั้น

 อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง 3 ถึง 5 คือ

f(x2)f(x1)x2x1=2π(5)2π(3)53=10π6π2=4π2=2π

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของเส้นรอบวงของวงกลม เทียบกับรัศมี เมื่อรัศมีเปลี่ยนจาก 3 เซนติเมตร เป็น 5 เซนติเมตร คือ 2π เซนติเมตร/เซนติเมตร 

2.  อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะใดๆ หมายถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงเมื่อค่า x เปลี่ยนแปลงไปน้อยมากๆ นั่นหมายความว่าเราต้องการให้ x2 มีค่าต่างจาก x1 น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เราจึงใช้ความรู้เรื่องลิมิตเข้าช่วย โดยหาก x1=x มีค่าใดๆ กำหนดให้ค่าของ x2=x+h ให้ h มีค่าน้อยมากๆ จนเข้าใกล้ 0
limh0f(x+h)f(x)(x+h)x=limh0f(x+h)f(x)h

อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะที่ x=a คือ
limh0f(a+h)f(a)h

 

ตัวอย่างการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะที่ x=a 

ตัวอย่างที่ 6

กำหนด f(x)=4x2+3 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะที่ x=2

อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะที่ x=2 คือ
limh0f(2+h)f(2)h=limh0[4(2+h)2+3][4(2)2+3]h=limh0[4(4+4h+h2)+3]19h=limh016+16h+4h2+319h=limh016h+4h2h=limh0h(16+4h)h=16+4(0)=16

 อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะที่ x=2 เท่ากับ 16


ตัวอย่างที่ 7

จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของเส้นรอบวงของวงกลม เทียบกับรัศมี ขณะรัศมียาว 5 เซนติเมตร 

จาก ตัวอย่างที่ 5 จะได้ f(x)=2πx เป็นความสัมพันธ์ระหว่างเส้นรอบวงของวงกลม กับรัศมีของวงกลม

 อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะที่ x=5 คือ

limh0f(5+h)f(5)h=limh02π(5+h)2π(5)h=limh010π+2πh10πh=limh02πhh=limh02π=2π

 อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะที่ x=5 คือ 2π เซนติเมตร/เซนติเมตร

ว่าด้วยเรื่องของคำศัพท์ 

ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

  • คำว่า "derivative" หมายถึงผลลัพธ์ของการหาอนุพันธ์
  • คำว่า "differentiate" หมายถึงหาอนุพันธ์ (คำกริยา)
  • คำว่า "differentiation" หมายถึงการหาอนุพันธ์ (คำนาม)

ซึ่งการหาอนุพันธ์ เรามักเรียกว่า "ดิฟ" แทนที่จะพูดว่า "หาอนุพันธ์" แต่ใช้เรียกเพื่อให้ง่ายเท่านั้น ไม่ควรใช้พูดจริงๆ โดยเฉพาะในการพูดอย่างเป็นทางการ เช่น ในงานสัมมนาทางวิชาการ (เผื่อใครมีโอกาสครับ ^^)

คำคล้าย : อัตราการเปลี่ยนแปลงและนิยามอนุพันธ์, definition of differential, derivative definition, rate of change, นิยามของอนุพันธ์, นิยามแบบลิมิตของอนุพันธ์
Under Growing
"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า
คอร์สแนะนำ
หนังสือแนะนำ
รายละเอียดการใช้งานคุกกี้

เพื่อประโยชน์และประสบการณ์ที่ดีในการใช้งานเว็บไซต์ของ บริษัท โอเพ่นดูเรียน จํากัด (“โอเพ่นดูเรียน”) โอเพ่นดูเรียนจึงใช้คุกกี้บนเว็บไซต์ของบริษัท ทั้งนี้ คุณสามารถศึกษาเพิ่มเติม เกี่ยวกับนโยบายคุกกี้ของโอเพ่นดูเรียนได้ที่ นโยบายคุกกี้ และคุณสามารถปฏิเสธคุกกี้ได้