อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
จากหัวข้อที่แล้ว ความชันของเส้นโค้ง y=f(x) ที่จุด (x,y) ใดๆ คือ limh→0f(x+h)−f(x)h ซึ่งเราเรียกค่าของลิมิตนี้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f นิยามได้ดังนี้
จากบทนิยาม จะได้ว่า f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h
- ถ้า limh→0f(x+h)−f(x)h หาค่าได้ จะกล่าวว่า ฟังก์ชัน f มีอนุพันธ์ที่ x หรือ ฟังก์ชัน f หาอนุพันธ์ได้ที่ x
- ถ้า limh→0f(x+h)−f(x)h หาค่าไม่ได้ จะกล่าวว่า ฟังก์ชัน f ไม่มีอนุพันธ์ที่ x หรือ ฟังก์ชัน f หาอนุพันธ์ไม่ได้ที่ x
สัญลักษณ์ที่นิยมใช้แทนอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x นอกจาก f′(x) คือ dydx นั้น อ่านว่า "ดีวายบายดีเอ็กซ์"
ตัวอย่างการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนิยาม
ตัวอย่างที่ 1
กำหนด f(x)=2x2−3x+2 จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x
f′(x)=limh→0[2(x+h)2−3(x+h)+2]−[2x2−3x+2]h=limh→02(x2+2xh+h2)−3x−3h+2−2x2+3x−2h=limh→02x2+4xh+2h2−3x−3h+2−2x2+3x−2h=limh→04xh+2h2−3hh=limh→0h(4x+2h−3)h=4x+2(0)−3=4x−3
f′(x)=4x−3
สำหรับ a ใดๆ ที่อยู่ในโดเมนของ f อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x=a คือ f′(a)=limh→0f(a+h)−f(a)h หรืออาจใช้สัญลักษณ์ ddxf(x)∣x=a แทน f′(a) ซึ่งในการหาค่า f′(a) อาจทำการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x ใดๆ หลังจากนั้นแทน x ด้วย a เช่น
ตัวอย่างการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ x=a
ตัวอย่างที่ 2
กำหนด f(x)=2x2−3x+2 จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x=2
ในตัวอย่างนี้ เราอาจหา f′(2)=limh→0f(2+h)−f(2)h โดยตรงก็ได้ แต่ในกรณีนี้เราทราบแล้วว่า
f′(x)=4x−3
เราสามารถแทน x ด้วย 2 จะได้
f′(2)=4(2)−3=5
f′(2)=5
ตัวอย่างการจัดลิมิตให้อยู่ในรูปของอนุพันธ์
ตัวอย่างที่ 3
กำหนดให้ f′(2)=13 และ f′(3)=3 จงหา limh→0f(2+h)−f(3+h)−f(2)+f(3)10h
ทำการจัดรูปลิมิตให้อยู่ในรูปของอนุพันธ์
limh→0f(2+h)−f(3+h)−f(2)+f(3)10h=limh→0[f(2+h)−f(2)]−[f(3+h)−f(3)]10h=limh→0f(2+h)−f(2)10h−limh→0f(3+h)−f(3)10h=110limh→0f(2+h)−f(2)h−110limh→0f(3+h)−f(3)h=110[f′(2)−f′(3)]=110(13−3)=1
limh→0f(2+h)−f(3+h)−f(2)+f(3)10h=1
จากบทนิยามของอนุพันธ์ จะได้ว่า f′(x) คือความชันของเส้นโค้ง y=f(x) ที่จุดใดๆ นั่นเอง และสำหรับ a ใดๆ ที่อยู่ในโดเมนของ f จะได้ว่า f′(a) คือความชันของเส้นโค้ง y=f(x) ที่จุด (a,f(a)) เช่น จาก ตัวอย่างที่ 2 เราจะได้ว่าความชันของเส้นโค้ง y=2x2−3x+2 ที่จุด (2,4) คือ f′(2)=5
อัตราการเปลี่ยนแปลง
ถ้ากำหนดฟังก์ชัน y=f(x) มีจุด P(x1,f(x1)) และจุด Q(x2,f(x2)) อยู่บนกราฟของฟังก์ชัน แล้ว ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด P และ Q คือ f(x2)−f(x1)x2−x1 เรียกอัตราส่วนนี้ว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ของ y เทียบกับ x เมื่อค่าของ x เปลี่ยนจาก x1 เป็น x2 นิยามได้ดังนี้
1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x1 ถึง x2 คือ
f(x2)−f(x1)x2−x1
ตัวอย่างการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย
ตัวอย่างที่ 4
จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ f(x)=x2+1 เมื่อค่า x เปลี่ยนจาก x1=1 เป็น x2=3
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง 1 ถึง 3 คือ
f(3)−f(1)3−1=(32+1)−(12+1)2=10−22=4
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง 1 ถึง 3 เท่ากับ 4
ตัวอย่างที่ 5
จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของเส้นรอบวงของวงกลม เทียบกับรัศมี เมื่อรัศมีเปลี่ยนจาก 3 เซนติเมตร เป็น 5 เซนติเมตร
สูตรการพื้นเส้นรอบวงของวงกลม คือ 2πr กำหนดให้ y=f(x) เป็นความสัมพันธ์ระหว่างเส้นรอบวงของวงกลม (y) กับรัศมีของวงกลม (x) จะได้สมการ f(x)=2πx ดังนั้น
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง 3 ถึง 5 คือ
f(x2)−f(x1)x2−x1=2π(5)−2π(3)5−3=10π−6π2=4π2=2π
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของเส้นรอบวงของวงกลม เทียบกับรัศมี เมื่อรัศมีเปลี่ยนจาก 3 เซนติเมตร เป็น 5 เซนติเมตร คือ 2π เซนติเมตร/เซนติเมตร
2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะใดๆ หมายถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงเมื่อค่า x เปลี่ยนแปลงไปน้อยมากๆ นั่นหมายความว่าเราต้องการให้ x2 มีค่าต่างจาก x1 น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เราจึงใช้ความรู้เรื่องลิมิตเข้าช่วย โดยหาก x1=x มีค่าใดๆ กำหนดให้ค่าของ x2=x+h ให้ h มีค่าน้อยมากๆ จนเข้าใกล้ 0
limh→0f(x+h)−f(x)(x+h)−x=limh→0f(x+h)−f(x)h
อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะที่ x=a คือ
limh→0f(a+h)−f(a)h
ตัวอย่างการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะที่ x=a
ตัวอย่างที่ 6
กำหนด f(x)=4x2+3 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะที่ x=2
อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะที่ x=2 คือ
limh→0f(2+h)−f(2)h=limh→0[4(2+h)2+3]−[4(2)2+3]h=limh→0[4(4+4h+h2)+3]−19h=limh→016+16h+4h2+3−19h=limh→016h+4h2h=limh→0h(16+4h)h=16+4(0)=16
อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะที่ x=2 เท่ากับ 16
ตัวอย่างที่ 7
จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของเส้นรอบวงของวงกลม เทียบกับรัศมี ขณะรัศมียาว 5 เซนติเมตร
จาก ตัวอย่างที่ 5 จะได้ f(x)=2πx เป็นความสัมพันธ์ระหว่างเส้นรอบวงของวงกลม กับรัศมีของวงกลม
อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะที่ x=5 คือ
limh→0f(5+h)−f(5)h=limh→02π(5+h)−2π(5)h=limh→010π+2πh−10πh=limh→02πhh=limh→02π=2π
อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะที่ x=5 คือ 2π เซนติเมตร/เซนติเมตร
ว่าด้วยเรื่องของคำศัพท์
ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
- คำว่า "derivative" หมายถึงผลลัพธ์ของการหาอนุพันธ์
- คำว่า "differentiate" หมายถึงหาอนุพันธ์ (คำกริยา)
- คำว่า "differentiation" หมายถึงการหาอนุพันธ์ (คำนาม)
ซึ่งการหาอนุพันธ์ เรามักเรียกว่า "ดิฟ" แทนที่จะพูดว่า "หาอนุพันธ์" แต่ใช้เรียกเพื่อให้ง่ายเท่านั้น ไม่ควรใช้พูดจริงๆ โดยเฉพาะในการพูดอย่างเป็นทางการ เช่น ในงานสัมมนาทางวิชาการ (เผื่อใครมีโอกาสครับ ^^)