การดำเนินการตามแถว
ให้ A เป็นเมทริกซ์มีมิติ m×n เราเรียกกระบวนการต่อไปนี้ว่าเป็นการดำเนินการตามแถว
1. สลับแถวที่ i กับแถวที่ j (เขียนแทนด้วย Rij)
2. คูณแถวที่ i ด้วยค่าคงตัว c≠0 (เขียนแทนด้วย cRi)
3. เปลี่ยนแถวที่ i โดยนำค่าคงตัว c คูณกับแถวที่ j แล้วบวกกับแถวที่ i (เขียนแทนด้วย Ri+cRj)
4. กระบวนการจะสิ้นสุดเมื่อเราได้เมทริกซ์ในรูปแบบ [100010001]
ตัวอย่างการดำเนินการตามแถวแบบ Rij
ให้ [0110]
ดังนั้น
[0110]→R12[1001]
ตัวอย่างการดำเนินการตามแถวแบบ cRi เมื่อ c เป็นค่าคงตัวที่ไม่ใช่ศูนย์
ให้ [200−13]
ดังนั้น
[200−13]→12R1[100−13]→−3R1[1001]
ตัวอย่างการดำเนินการตามแถวแบบ Ri+cRj
ให้ [100210321]
ดังนั้น
[100210321]→−2R1+R2[100010321]→−3R1+R3[100010021]→−2R2+R3[100010001]
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยการดำเนินการตามแถว
ตัวอย่างการแปลงระบบสมการเชิงเส้นเป็นเมทริกซ์แต่งเติมมีมิติ 2×3
ให้ระบบสมการเชิงเส้น
x+3y=12x+y=2
เพื่อความสะดวกเราจะเขียนสมการ
x+3y=1เป็น1x+3y=1และ2x+y=2เป็น2x+1y=2
จะได้
1x+3y=12x+1y=2
เราสามารถแปลงระบบสมการเชิงเส้นเป็น เมทริกซ์แต่งเติม (aumented matrix) ของสมการโดยการนำสัมประสิทธิ์ของ x,y และ ค่าอีกฝั่งของสมการ มาเขียนในรูปเมทริกซ์ 2×3 ได้ดังนี้
\A= \left[ \begin{array}{cc|c} 1&3&1\\ 2&1&2 \end{array} \right \]
ตัวอย่างการแปลงระบบสมการเชิงเส้นเป็นเมทริกซ์แต่งเติมมีมิติ 3×4
ให้ระบบสมการเชิงเส้น
x+2y+z=12x+y+3z=2x−y+z=3
เพื่อความสะดวกเราจะเขียนสมการ
x+2y+z=1เป็น1x+2y+1z=1และ2x+y+3z=2เป็น2x+1y+3z=2และx−y+z=3เป็น1x−1y+1z=3
จะได้
1x+2y+1z=12x+1y+3z=21x−1y+1z=3
เราสามารถแปลงระบบสมการเชิงเส้นเป็นเมทริกซ์แต่งเติมของสมการโดยการนำสัมประสิทธิ์ของ x,y,z และ ค่าอีกฝั่งของสมการ มาเขียนในรูปเมทริกซ์ 3×4 ได้ดังนี้
\A= \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&1&1\\ 2&1&3&2\\ 1&-1&1&3\\ \end{array} \right \]
เมื่อเรามีเมทริกซ์แต่งเติมเราจึงทำการดำเนินการตามแถวไปเรื่อย ๆ ดังในรูป
[∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗]→[∗∗∗∗0∗∗∗∗∗∗∗]→[∗∗∗∗0∗∗∗0∗∗∗]→[1∗∗∗0∗∗∗0∗∗∗]→[10∗∗0∗∗∗0∗∗∗]→[10∗∗0∗∗∗00∗∗]→[10∗∗01∗∗00∗∗]→[100∗01∗∗00∗∗]→[100∗010∗00∗∗]→[100∗010∗001∗]
โดยที่ ∗ แทนตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์
ตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยการดำเนินการตามแถว
ให้ระบบสมการเชิงเส้น
x+1z=12x+y=2x−y+z=3
เพื่อความง่ายเราจะเขียนสมการ
x+z=1เป็น1x+0y+1z=1และ2x+y=2เป็น2x+1y+0z=2และx−y+z=3เป็น1x−1y+1z=3
จะได้
1x+0y+1z=12x+1y+0z=21x−1y+1z=3
และเมทริกซ์แต่งเติมของระบบสมการเชิงเส้น
\A= \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&1\\
2&1&0&2\\
1&-1&1&3\\ \end{array} \right \]
ดังนั้นเราจะได้ว่า
[101121021−113]→−R1+R3[101121020−102]→−R3[10112102010−2]→−R3+R2[10112004010−2]→−12R2[10111002010−2]→−R2+R1[001−11002010−2]→R12[1002001−1010−2]→R23[1002010−2001−1]
ดังนั้น x=2,y=−2,z=−1
ผลของการดำเนินการตามแถวกับดีเทอร์มิแนนท์
เราจะกล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่างการดำเนินการตามแถวและค่าของดิเทอร์มิแนนท์หลังจากการดำเนินการตามแถว
1. สลับสองแถวใด ๆ ของ A
ให้เมทริกซ์ B เป็นเมทริกซ์ที่เกิดจากการสลับสองแถวใด ๆ ของเมทริกซ์ A ดังนั้น
detB=−detA
2. คูณแถวที่ i ด้วยค่าคงตัว c≠0
ให้เมทริกซ์ B เป็นเมทริกซ์ที่เกิดจากการคูณแถวที่ i ด้วยค่าคงตัว c≠0 ของเมทริกซ์ A ดังนั้น
detB=c×detA
3. เปลี่ยนแถวที่ i โดยนำค่าคงตัว c คูณกับแถวที่ j แล้วบวกกับแถวที่ i
ให้ เมทริกซ์ B เป็นเมทริกซ์ที่เกิดจากการเปลี่ยนแถวที่ i โดยนำค่าคงตัว c คูณกับแถวที่ j
แล้วบวกกับแถวที่ i ของเมทริกซ์ A ดังนั้น
detB=detA
ให้ A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานมีมิติ 3×3 ถ้า A=[abcdefghi] เมื่อ a,b,c,d,e,f,g,h,i และ k≠0 เป็นจำนวนจริง
A=[abcdefghi]→R12[defabcghi]=B
ดังนั้น detB=−detA
A=[abcdefghi]→kR2[abckdkekfghi]=C
ดังนั้น detC=k⋅detA
A=[abcdefghi]→kR2+R3[abcdefkd+gke+hkf+i]=D
ดังนั้น detD=detA
การหาอินเวอร์สการคูณโดยการดำเนินการตามแถว
การดำเนินการตามแถวของเมทริกซ์ นอกจากสามารถใช้แก้สมการเชิงเส้นแล้ว ยังสามารถใช้หาอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ได้เช่นกันดังต่อไปนี้
ให้ A เป็นเมทริกซ์มิติ n×n โดยที่ detA≠0
1. เขียน A ในรูปของ
[A|In] (เขียนเฉพาะสมาชิกใน A นะ)
2. ดำเนินการตามแถวกับเมทริกซ์ [A|In] จนกระทั่งได้
[In|A−1]
[∗∗∗+++∗∗∗+++∗∗∗+++]→[∗∗∗+++0∗∗+++∗∗∗+++]→[∗∗∗+++0∗∗+++0∗∗+++]→[1∗∗+++0∗∗+++0∗∗+++]→[10∗+++0∗∗+++0∗∗+++]→[10∗+++0∗∗+++00∗+++]→[10∗+++01∗+++00∗+++]→[100+++01∗+++00∗+++]→[100+++010+++00∗+++]→[100+++010+++001+++]→[100+++010+++001+++]=[I3A−1]
โดยที่ ∗ แทนตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์
ตัวอย่างการหาอินเวอร์สการคูณโดยการดำเนินการตามแถวของเมทริกซ์มิติ 2×2
ให้ A=[1234]
ดังนั้น
[A|I2]=[12103401]→−3R1+R2[12100−2−31]→R2+R1[10−210−2−31]→R2+R1[10−210132−12]=[I2|A−1]
ดังนั้น A−1=[−2132−12]
ตัวอย่างการหาอินเวอร์สการคูณโดยการดำเนินการตามแถวของเมทริกซ์มิติ 3×3
ให้ A=[1012101−11]
ดังนั้น
[A|I3]=[1011002100101−11001]→−R1+R3[1011002100100−10−101]→−R3+R2[101100200−1110−10−101]→12R2[101100100−1212120−10−101]→−R3[101100100−12121201010−1]→−R2+R1[00132−12−12100−12121201010−1]→R12[100−12121200132−12−1201010−1]→R23[100−12121201010−100132−12−12]=[I3|A−1]
ดังนั้น A−1=[−12121210−132−12−12]