การดำเนินการของเซต เวลาพูดถึงการดำเนินการของอะไรสักอย่างจะเป็นอะไรที่ยากแก่การเข้าใจ แต่จริง ๆ แล้ว การดำเนินการก็คือ การที่เอาของสองสิ่งมาทำอะไรกันสักอย่าง เช่น เวลาเรามีตัวเลขสองตัว แล้วเราเอามาบวกลบกัน การบวก หรือ ลบ นั้นถือเป็นการดำเนินการชนิดนึง
ดังนั้นการดำเนินการของเซตก็คือ การเอาเซตสองเซตมาทำอะไรกันสักอย่าง ทีนี้เราต้องดูว่าถ้าเรามีเซตสองเซต จะทำอะไรกันได้บ้าง
ยูเนียน (Union)
การยูเนียนระหว่างเซตสองเซต คือ การเอาเซตทั้งสองเซตมารวมกันเป็นเซตเดียว นั้นคือ การเอาสมาชิกมารวมกัน สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคำว่ายูเนียน คือ ∪ เช่น
A={1,2,3,4,5} และ B={2,4,6,8,10} จงหา A∪B
เมื่อเอาสมาชิกมารวมกันไว้ในเซตเดียวกันจะได้
A∪B={1,2,3,4,5,2,4,6,8,10}
แต่เนื่องจากมีสมาชิกบางตัวซ้ำ เราจะไม่เขียนสมาชิกตัวเดียวกันซ้ำสองครั้ง เราจึงตัดสมาชิกที่เขียนลงไปแล้วออก และเรียงลำดับจากน้อยไปมากให้สวยงามดังนี้
A∪B={1,2,3,4,5,6,8,10}
ดังนั้น A∪B={1,2,3,4,5,6,8,10}
ในการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกเราจะไม่เขียนสมาชิกตัวเดียวกันซ้ำสองครั้ง
อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
อินเตอร์เซกชัน หรือ การอินเตอร์เซกกันของเซตสองเซต คือ การหาสมาชิกส่วนที่ซ้ำกันจากสองเซตมาเขียนเป็นอีกเซตหนึ่ง สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคำว่าอินเตอร์เซก คือ ∩
ตัวอย่างการคำนวณอินเตอร์เซกชั่นของสองเซต
A={1,2,3,4,5} และ B={2,4,6,8,10} จงหา A∩B
สมาชิกที่ซ้ำกันของทั้งสองเซต คือ เลข 2 และเลข 4 ดังนั้น
A∩B={2,4}
นั่นคือ A∩B={2,4}
C={1,2} และ D={1,{2},{1,2}} จงหา C∩D
เซต C มีสมาชิกสองตัว คือ เลข 1 และเลข 2 ในขณะที่เซต D มีสมาชิกสามตัว คือเลข 1, เซตของเลขสอง และ เซตของเลขหนึ่งกับเลขสอง ดังนั้นส่วนที่ซ้ำกันของ C กับ D คือ เลข 1 ตัวเดียว ส่วนเลข 2 นั้นไม่ได้เป็นสมาชิกของเซต D ตัวที่เป็นสมาชิกของเซต D คือ เซตของเลขสองซึ่งเป็นคนละตัวกัน ดังนั้น
C∩D={1}
จะได้ C∩D={1}
ผลต่างหรือการลบกันของเซต (Difference)
การหาผลต่างระหว่างเซตหรือจับเซตสองเซตมาลบกัน ให้คิดว่าเอาเซตข้างหน้าเป็นตัวตั้ง จากนั้นถ้าหากมีสมาชิกตัวไหนซ้ำกับในเซตด้านหลังให้ตัดออก สัญลักษณ์แทนการลบ คือ เครื่องหมายลบ − ที่เราใช้กันในการลบเลขทั่วไป
ตัวอย่างการคำนวณผลต่างของเซต
A={1,2,3,4,5} และ B={2,4,6,8,10} จงหา A−B
เนื่องจากโจทย์สั่งให้หา A−B จึงต้องเอา A ซึ่งเป็นตัวหน้าเป็นตัวตั้ง
{1,2,3,4,5}
จากนั้นตัดสมาชิกที่ซ้ำกับในตัวหลัง หรือที่ซ้ำกับในเซต B ออกไป
A−B={1,2,3,4,5}={1,3,5}
ดังนั้น A−B={1,3,5}
คอมพลีเมนต์ (Complement)
คอมพลีเมนต์ของเซต เป็นการดำเนินการที่แตกต่างจากยูเนียน อินเตอร์เซกชันและการลบกันของเซต เพราะคอมพลีเมนต์เป็นการดำเนินการบนเซตเซตเดียว โดยวิธีการคำนวณคอมพลีเมนต์ของเซตหนึ่งๆ ทำได้โดยการเอายูนิเวอร์สหรือเอกภพสัมพัทธ์เป็นตัวตั้งแล้วลบออกด้วยเซตนั้นๆ หรือพูดง่ายๆ ว่าการหาคอมพลีเมนต์ คือ การหาสมาชิกทั้งหมดที่ไม่อยู่ในเซตนั้น (แต่อยู่ในยูนิเวอร์ส) สัญลักษณ์ของคอมพลีเมนต์ มี 2 รูปแบบ คือ การเขียนชื่อเซตนั้นๆ ตามด้วยเครื่องหมายไพรม์ (′) หรือ อาจจะเขียนชื่อเซตนั้นๆ แล้วเขียนยกกำลังด้วยตัว c เช่น คอมพลีเมนต์ของเซต A เขียนแทนด้วย A′ หรือ Ac ก็ได้
ตัวอย่างการคำนวณคอมพลีเมนต์
ถ้ากำหนดเอกภพสัมพัทธ์เป็น U={0,1,2,3,⋯,9} และเซต A={0,2,4,6,8} กับ B={2,3,5,7} จงหา A′ และ Bc
พี่จะแสดงวิธีหา A′ โดยนำ U มาลบออกด้วย A ตามนี้นะครับ
A′=U−A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}−{0,2,4,6,8}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}={1,3,5,7,9}
ดังนั้น A′={1,3,5,7,9}
ส่วน Bc พี่จะใช้วิธีดูว่าสมาชิกใดบ้างที่ไม่อยู่ใน B แต่ยังอยู่ในยูนิเวอร์ส
เนื่องจากสมาชิกใน B ประกอบไปด้วยจำนวนเฉพาะบวกที่มีค่าไม่เกิน 10 ดังนั้นใน Bc จะต้องเป็นตัวเลขใน U ที่ไม่เป็นจำนวนเฉพาะซึ่งก็คือ
0,1,4,6,8 และ 9
ดังนั้น Bc={0,1,4,6,8,9}
A′={1,3,5,7,9} และ Bc={0,1,4,6,8,9}