ความชันของเส้นโค้ง
กำหนด y กับ x มีความสัมพันธ์คือ y=f(x) หากเป็นความสัมพันธ์เชิงเส้น การหาความชันของเส้นตรง y=f(x) นั้นเราได้ศึกษาในบทเรียนเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์มาแล้ว ตัวอย่าง เช่น ความสัมพันธ์ y=2x−3 วาดกราฟได้ดังรูป
ให้เราเลือกจุดสองจุดใดๆ ที่อยู่บนกราฟดังกล่าว จากภาพตัวอย่าง เลือกจุด (2,1) และจุด (4,5) สูตรการหาความชัน (slope) คือ
m=y2−y1x2−x1
จากตัวอย่าง จะได้
m=y2−y1x2−x1=5−14−2=42=2
ปริมาณต่างๆ ในโลกของเราย่อมไม่เพิ่มขึ้นหรือลดลงเป็นเส้นตรงเสมอไป หากความสัมพันธ์ y=f(x) ไม่ใช่ความสัมพันธ์เชิงเส้น กล่าวคือ มีกราฟเป็นเส้นโค้ง ความชันแต่ละจุดบนเส้นโค้งย่อมมีค่าไม่เท่ากัน (สังเกตจากความเอียงของเส้นโค้ง) หากต้องการทราบความชันที่จุดใดจุดหนึ่งบนเส้นโค้งจะมีวิธีการหาอย่างไร
เรานิยามว่าความชันของเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ คือ ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดนั้น การหาความชันของเส้นตรงต้องทราบพิกัดของจุดสองจุดใดๆ บนเส้นตรงนั้น แต่ในกรณีนี้เราทราบเพียงจุดเดียวเท่านั้นคือ จุดที่เราต้องการหาความชันของเส้นโค้ง แล้วเราจะหาความชันของเส้นสัมผัสดังกล่าวได้อย่างไร พิจารณากราฟของความสัมพันธ์ต่อไปนี้
จากภาพ กำหนดความสัมพันธ์ y=f(x) เป็นเส้นโค้ง ต้องการหาความชันที่จุด P(x,y) หมายความว่าต้องการหาความชันของเส้นตรง L ซึ่งทราบพิกัดของจุด P เพียงจุดเดียวทำให้ไม่สามารถหาความชันโดยตรงได้
พิจารณาเส้นตรง L1 โดยให้ Q(x1,y1) เป็นจุดใดๆ บนเส้นโค้ง y=f(x) เราสามารถหาความชันของเส้นตรง L1 ได้ ดังนี้
m1=y1−yx1−x
สมมุติให้ x1=x+h และ y1=f(x1)=f(x+h) จะได้
m1=y1−yx1−x=f(x+h)−f(x)x+h−x=f(x+h)−f(x)h
ถ้าเราเลื่อนจุด Q ให้เข้าใกล้จุด P มากขึ้น เส้นตรง L1 จะมีความชันที่ใกล้เคียงกับความชันของเส้นตรง L ที่ต้องการมากขึ้น ซึ่งจุด Q จะเข้าใกล้จุด P มากขึ้นเมื่อค่า h มีค่าน้อยลง หากเราต้องการให้จุด Q เข้าใกล้จุด P มากๆ จนเกือบจะเป็นจุดเดียวกัน ต้องให้ค่า h มีค่าน้อยจนเข้าใกล้ 0 การใช้นิยามของลิมิตทำให้สามารถหาความชันของเส้นตรง L ได้ ดังนี้
m=limh→0f(x+h)−f(x)h
บทนิยาม ถ้าเส้นโค้งเป็นกราฟของ y=f(x) เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด P(x,y) ใดๆ จะเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด P และมีความชันเท่ากับ
limh→0f(x+h)−f(x)h (ถ้าลิมิตหาค่าได้)
ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด P(x,y) หมายถึงความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด P
ตัวอย่างการหาความชันของเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ
จงหาความชันของเส้นโค้ง ซึ่งเป็นกราฟของสมการ y=x2+2 ที่จุดใดๆ
ให้ f(x)=x2+2 ความชันของเส้นโค้งที่จุด (x,y) ใดๆ คือ
limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0[(x+h)2+2]−(x2+2)h=limh→0(x2+2xh+h2)+2−x2−2h=limh→0x2+2xh+h2−x2h=limh→0h(2x+h)h=limh→0(2x+h)=2x
ดังนั้น ความชันของเส้นโค้งที่จุดใดๆ คือ 2x
ตัวอย่างที่ 2
จงหาความชันของเส้นโค้ง ซึ่งเป็นกราฟของสมการ y=1x ที่จุด (3,4)
ให้ f(x)=1x ความชันของเส้นโค้งที่จุด (x,y) ใดๆ คือ
limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→01x+h−1xh=limh→01h⋅(1x+h−1x)=limh→01h⋅x−(x+h)x(x+h)=limh→01h⋅x−x−hx(x+h)=limh→01h⋅−hx(x+h)=limh→0−1x(x+h)=−1x2
ดังนั้น ความชันของเส้นโค้งที่จุดใดๆ คือ −1x2
เพราะฉะนั้น ความชันของเส้นโค้งที่จุด (3,4) คือ −132=−19
ตัวอย่างการหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง
ตัวอย่างที่ 3
กำหนดสมการเส้นโค้ง y=x2+2 จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (−1,1)
ให้ f(x)=x2+2 จาก ตัวอย่างที่ 1 เราทราบแล้วว่าความชันของเส้นโค้งที่จุดใดๆ คือ 2x
ดังนั้น ความชันของเส้นโค้งที่จุด (−1,1) เท่ากับ 2(−1)=−2
จะได้ ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (−1,1) คือ −2 เช่นกัน
สมการทั่วไปของเส้นตรง คือ y=mx+c
จะได้ สมการของเส้นสัมผัส คือ y=−2x+c …(1)
เส้นสัมผัสผ่านจุด (−1,1) แทนค่า x=−1 และ y=1 ลงในสมการ (1)
y=−2x+c1=−2(−1)+c1=2+c1−2=c−1=c
แทนค่าในสมการ (1) จะได้ y=−2x−1
สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (−1,1) คือ y=−2x−1
สำหรับคนที่เรียนเรื่องสูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่างๆ แล้ว ความชัน ณ จุดใดๆ ของเส้นโค้ง y=f(x) คือ m=f′(x)