Processing math: 100%
ความชันของเส้นโค้ง, ความชันจากอนุพันธ์, ความชันของฟังก์ชันจากอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
(slope of curve)

ความชันของเส้นโค้ง

กำหนด y กับ x มีความสัมพันธ์คือ y=f(x) หากเป็นความสัมพันธ์เชิงเส้น การหาความชันของเส้นตรง y=f(x) นั้นเราได้ศึกษาในบทเรียนเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์มาแล้ว ตัวอย่าง เช่น ความสัมพันธ์ y=2x3 วาดกราฟได้ดังรูป

ให้เราเลือกจุดสองจุดใดๆ ที่อยู่บนกราฟดังกล่าว จากภาพตัวอย่าง เลือกจุด (2,1) และจุด (4,5) สูตรการหาความชัน (slope) คือ

m=y2y1x2x1

จากตัวอย่าง จะได้

m=y2y1x2x1=5142=42=2

ปริมาณต่างๆ ในโลกของเราย่อมไม่เพิ่มขึ้นหรือลดลงเป็นเส้นตรงเสมอไป หากความสัมพันธ์ y=f(x) ไม่ใช่ความสัมพันธ์เชิงเส้น กล่าวคือ มีกราฟเป็นเส้นโค้ง ความชันแต่ละจุดบนเส้นโค้งย่อมมีค่าไม่เท่ากัน (สังเกตจากความเอียงของเส้นโค้ง) หากต้องการทราบความชันที่จุดใดจุดหนึ่งบนเส้นโค้งจะมีวิธีการหาอย่างไร

เรานิยามว่าความชันของเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ คือ ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดนั้น การหาความชันของเส้นตรงต้องทราบพิกัดของจุดสองจุดใดๆ บนเส้นตรงนั้น แต่ในกรณีนี้เราทราบเพียงจุดเดียวเท่านั้นคือ จุดที่เราต้องการหาความชันของเส้นโค้ง แล้วเราจะหาความชันของเส้นสัมผัสดังกล่าวได้อย่างไร พิจารณากราฟของความสัมพันธ์ต่อไปนี้

จากภาพ กำหนดความสัมพันธ์ y=f(x) เป็นเส้นโค้ง ต้องการหาความชันที่จุด P(x,y) หมายความว่าต้องการหาความชันของเส้นตรง L ซึ่งทราบพิกัดของจุด P เพียงจุดเดียวทำให้ไม่สามารถหาความชันโดยตรงได้

พิจารณาเส้นตรง L1 โดยให้ Q(x1,y1) เป็นจุดใดๆ บนเส้นโค้ง y=f(x) เราสามารถหาความชันของเส้นตรง L1 ได้ ดังนี้

m1=y1yx1x

สมมุติให้ x1=x+h และ y1=f(x1)=f(x+h) จะได้

m1=y1yx1x=f(x+h)f(x)x+hx=f(x+h)f(x)h

ถ้าเราเลื่อนจุด Q ให้เข้าใกล้จุด P มากขึ้น เส้นตรง L1 จะมีความชันที่ใกล้เคียงกับความชันของเส้นตรง L ที่ต้องการมากขึ้น ซึ่งจุด Q จะเข้าใกล้จุด P มากขึ้นเมื่อค่า h มีค่าน้อยลง หากเราต้องการให้จุด Q เข้าใกล้จุด P มากๆ จนเกือบจะเป็นจุดเดียวกัน ต้องให้ค่า h มีค่าน้อยจนเข้าใกล้ 0 การใช้นิยามของลิมิตทำให้สามารถหาความชันของเส้นตรง L ได้ ดังนี้

m=limh0f(x+h)f(x)h

บทนิยาม  ถ้าเส้นโค้งเป็นกราฟของ y=f(x) เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด P(x,y) ใดๆ จะเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด P และมีความชันเท่ากับ

limh0f(x+h)f(x)h  (ถ้าลิมิตหาค่าได้)

ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด P(x,y) หมายถึงความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด P

 

ตัวอย่างการหาความชันของเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ 

ตัวอย่างที่ 1

จงหาความชันของเส้นโค้ง ซึ่งเป็นกราฟของสมการ y=x2+2 ที่จุดใดๆ

 ให้ f(x)=x2+2 ความชันของเส้นโค้งที่จุด (x,y) ใดๆ คือ

limh0f(x+h)f(x)h=limh0[(x+h)2+2](x2+2)h=limh0(x2+2xh+h2)+2x22h=limh0x2+2xh+h2x2h=limh0h(2x+h)h=limh0(2x+h)=2x

ดังนั้น ความชันของเส้นโค้งที่จุดใดๆ คือ 2x 


ตัวอย่างที่ 2

จงหาความชันของเส้นโค้ง ซึ่งเป็นกราฟของสมการ y=1x ที่จุด (3,4) 

ให้ f(x)=1x ความชันของเส้นโค้งที่จุด (x,y) ใดๆ คือ

limh0f(x+h)f(x)h=limh01x+h1xh=limh01h(1x+h1x)=limh01hx(x+h)x(x+h)=limh01hxxhx(x+h)=limh01hhx(x+h)=limh01x(x+h)=1x2

ดังนั้น ความชันของเส้นโค้งที่จุดใดๆ คือ 1x2

เพราะฉะนั้น ความชันของเส้นโค้งที่จุด (3,4) คือ 132=19

การหาความชันของเส้นโค้งที่จุด (3,4) เราสามารถหาค่า limh0f(3+h)f(3)h ได้เลย โดยไม่ต้องหาความชันของเส้นโค้งที่จุดใดๆ ก่อน

 

ตัวอย่างการหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง

ตัวอย่างที่ 3

กำหนดสมการเส้นโค้ง y=x2+2 จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (1,1)

ให้ f(x)=x2+2 จาก ตัวอย่างที่ 1 เราทราบแล้วว่าความชันของเส้นโค้งที่จุดใดๆ คือ 2x

ดังนั้น ความชันของเส้นโค้งที่จุด (1,1) เท่ากับ 2(1)=2

จะได้ ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (1,1) คือ 2 เช่นกัน

สมการทั่วไปของเส้นตรง คือ y=mx+c

จะได้ สมการของเส้นสัมผัส คือ y=2x+c               (1)

เส้นสัมผัสผ่านจุด (1,1) แทนค่า x=1 และ y=1 ลงในสมการ (1)

y=2x+c1=2(1)+c1=2+c12=c1=c

แทนค่าในสมการ (1) จะได้ y=2x1

 สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (1,1) คือ y=2x1

 

สำหรับคนที่เรียนเรื่องสูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่างๆ แล้ว ความชัน ณ จุดใดๆ ของเส้นโค้ง y=f(x) คือ m=f(x) 

คำคล้าย : ความชันของเส้นโค้ง, ความชันจากอนุพันธ์, ความชันของฟังก์ชันจากอนุพันธ์อันดับหนึ่ง Slope Of Curve
Under Growing
"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า
คอร์สแนะนำ
หนังสือแนะนำ
รายละเอียดการใช้งานคุกกี้

เพื่อประโยชน์และประสบการณ์ที่ดีในการใช้งานเว็บไซต์ของ บริษัท โอเพ่นดูเรียน จํากัด (“โอเพ่นดูเรียน”) โอเพ่นดูเรียนจึงใช้คุกกี้บนเว็บไซต์ของบริษัท ทั้งนี้ คุณสามารถศึกษาเพิ่มเติม เกี่ยวกับนโยบายคุกกี้ของโอเพ่นดูเรียนได้ที่ นโยบายคุกกี้ และคุณสามารถปฏิเสธคุกกี้ได้