การแก้อสมการพหุนาม
ใช้หลักการแยกตัวประกอบเหมือนการแก้สมการ แล้วพิจารณาว่าพหุนามจะเป็น 0 เมื่อ x มีค่าเท่าใด
จากนั้นนำค่า x ไปเขียนบนเส้นจำนวนแล้วพิจารณาช่วงคำตอบ
ตัวอย่างการแก้อสมการพหุนาม
จงหาเซตคำตอบของอสมการ x2−x−2≥0
แยกตัวประกอบ x2−x−2=(x+1)(x−2)
จะได้ว่า (x+1)(x−2)≥0
ซึ่ง (x+1)(x−2) จะเท่ากับ 0 เมื่อ x=−1 และ x=2 นำ 2 ค่านี้ไปเขียนเส้นจำนวน
เราจะใช้จุดทึบทั้งสองจุด เนื่องจากอสมการเป็น ≥ แสดงว่าสามารถเป็น 0 ได้
จุดทั้งสองแบ่งเส้นจำนวนออกเป็น 3 ช่วง
พิจารณาช่วงซ้าย x≤−1
ถ้า x≤−1 จะได้ว่า x+1≤0 และ x−2≤0
เมื่อนำมาคูณกันจึงได้ค่าเป็นบวก หรือ ≥0 จริง
ดังนั้น x≤−1 เป็นคำตอบช่วงหนึ่งของอสมการ
พิจารณาช่วงกลาง −1≤x≤2
ถ้า −1≤x≤2 จะได้ว่า x+1≥0 แต่ x−2≤0
เมื่อนำมาคูณกันได้ค่าเป็นลบ ซึ่งไม่สอดคล้องกับ ≥0 ตามอสมการ
ดังนั้น −1≤x≤2 ไม่ใช่คำตอบ
พิจารณาช่วงขวา x≥2
ถ้า x≥2 จะได้ว่า x+1≥0 และ x−2≥0
เมื่อนำมาคูณกันได้ค่าบวก ซึ่ง ≥0 จริง
ดังนั้น x≥2 เป็นคำตอบช่วงหนึ่งของอสมการ
นำคำตอบทั้งหมดมายูเนี่ยนกัน จะได้
เซตคำตอบคือ x∈(−∞,−1]∪[2,∞)
จงหาเซตคำตอบของอสมการ 6x+5x+2≤0
ข้อนี้จะเห็นว่ามี x=−56 และ x=−2 มาเขียนบนเส้นจำนวน
ถึงจะเป็นเครื่องหมาย ≤ แต่จะเห็นว่า x=−2 ไม่ได้ เพราะจะทำให้ส่วนเป็น 0 ดังนั้นที่ x=−2 ต้องเป็นจุดโปร่ง
พิจารณาช่วงลักษณะเดิม ได้คำตอบคือ
เซตคำตอบคือ x∈(−2,−56]
จงหาเซตคำตอบของอสมการ 2x3−7x2+7x−2<0
แยกตัวประกอบพหุนาม P(x)=2x3−7x2+7x−2
โดยทฤษฎีเศษเหลือ P(1)=2−7+7−2=0 แสดงว่า x−1 เป็นตัวประกอบของ P(x)
นำไปหารสังเคราะห์ด้วย 1
จะได้
P(x)=(x−1)(2x2−5x+2)=(x−1)(2x−1)(x−2)
อสมการจึงเป็น (x−1)(2x−1)(x−2)<0
เนื่องจากเป็นเครื่องหมาย < ทุกจุดจึงเป็นจุดโปร่งเพราะไม่สามารถเท่ากับ 0 ได้
วาดเส้นจำนวนและพิจารณาช่วงเช่นเดิม จะได้
เซตคำตอบคือ x∈(−∞,12)∪(1,2)