แยกตัวประกอบพหุนาม $x^2 - 2x - 3$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} (x + 1)(x - 3) &=& 0 \end{eqnarray*}$$

ด้วยสมบัติของจำนวนจริง $2$ ตัว คูณกันได้ $0$ แสดงว่าต้องมีอย่างน้อยตัวใดตัวหนึ่งเป็น $0$ ดังนั้น

ถ้า $x + 1 = 0$ จะได้ $x = -1$

ถ้า $x - 3 = 0$ จะได้ $x = 3$

จะเห็นว่า $x^2 + 8x + 16$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์คือ

$$\begin{eqnarray*} x^2 + 8x + 16 &=& x^2 + 2(x)(4) + 4^2\\ &=& (x + 4)^2 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น สมการจึงเป็น 

$$(x+4)^2 = 4$$

ถอดรากที่สองทั้งสองข้าง

$$\begin{eqnarray*} x + 4 &=& 2, -2\\ x &=& -2, -6 \end{eqnarray*}$$

จะเห็นว่าพหุนาม $x^2 + 2x - 7$ ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ และไม่อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์

เราจะจัดให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ดังนี้

$$\begin{eqnarray*} x^2 + 2x - 7 &=& x^2 + 2x -7 + 1^2 - 1^2\\ &=& [x^2 + 2(x)(1) + 1^2] - 7 - 1\\ &=& (x + 1)^2 - 8 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น สมการคือ

$$\begin{eqnarray*} (x+1)^2 - 8 &=& 0\\ (x+1)^2 &=& 8 \end{eqnarray*}$$

ถอดรากที่สองทั้งสองข้าง

$$\begin{eqnarray*} x + 1 &=& 2\sqrt{2} , -2 \sqrt{2}\\ x &=& 2 \sqrt{2} - 1, -2 \sqrt{2} - 1 \end{eqnarray*}$$

จากสมการ จะได้ว่า $a = 1, b = 2$ และ $c = -7$

จากสูตร จะได้

$$\begin{eqnarray*} x &=& \frac{-2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-7)}}{2(1)}\\ &=& \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 28}}{2}\\ &=& \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{2} \end{eqnarray*}$$

ซึ่ง $\sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} x &=& \frac{-2 \pm 4 \sqrt{2}}{2}\\ &=& \frac{\require{cancel}\cancel{2}(-1 \pm 2 \sqrt{2})}{\cancel{2}}\\ &=& \pm 2\sqrt{2} - 1 \end{eqnarray*}$$

จากสมการจะได้ว่า $a = 1, b = -m$ และ $c = 9$

สมการมีคำตอบเดียว นั่นคือ $b^2 - 4ac = 0$

$$\begin{eqnarray*} (-m)^2 - 4(1)(9) &=& 0\\ m^2 - 36 &=& 0\\ m^2 &=& 36\\ m &=& 6, -6 \end{eqnarray*}$$