ค่ามาตรฐาน หรือ คะแนนมาตรฐาน เป็นค่าที่เราสามารถเอาไว้เปรียบเทียบข้อมูลระหว่างชุดได้ เพราะถ้าเรานำข้อมูลสองชุดมาเปรียบเทียบกัน จะมีปัญหาว่า ค่าเฉลี่ยไม่เท่ากัน ส่วนเบี่ยงเบนไม่เท่ากัน ทำให้ไม่รู้ว่าข้อมูลคนใครดีกว่ากัน แต่ถ้าเราเปลี่ยนข้อมูลของทุกคนให้อยู่ในรูป ค่ามาตรฐาน เราจะบอกได้ทันที เพราะว่าค่ามาตรฐานจะเป็นการเปลี่ยนค่าของข้อมูลให้อยู่ในมาตรฐานเดียวกันทั้งหมด

เส้นโค้งปกติมาตรฐาน

เส้นโค้งปกติมาตรฐาน คือ เส้นโค้งที่มีรูปร่างเป็นรูประฆังคว่ำและพื้นที่ใต้กราฟทั้งหมดเท่ากับ $1$ โดยค่ามาตรฐาน $(z)$ จะเป็นค่าที่แสดงในแนวแกน $x$

โดยที่จะมีเส้นแบ่งตรงกลาง คือ เส้นที่ค่า $z=0$ ซึ่งจะทำให้พื้นที่ทั้งสองข้างเท่ากัน

และรูปนี้เป็นสมาตรกัน นั่นคือ ถ้าห่างออกไปจากแกนตรงกลาง $(z=0)$ เท่ากันจะได้ว่าพื้นที่สองฝั่งเท่ากัน

ความสำคัญอีกอย่างของเส้นโค้งปกติมาตรฐาน คือ ค่าตรงกลางที่ $z=0$ หมายความว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ $0$ และเท่ากับมัธฐานและฐานนิยม

การอ่านตารางค่ามาตรฐานและพื้นที่ใต้กราฟ

ในเรื่องนี้จะมีตารางค่ามาตรฐานมาเกี่ยวข้องซึ่งตารางค่ามาตรฐานจะมีสิ่งที่เกี่ยวข้องกัน $2$ สิ่ง คือ ค่ามาตรฐาน $z$ และ พื้นที่ที่ได้ เช่น ถ้าตารางบอกว่า ค่า $z=1.96$ ได้พื้นที่ใต้กราฟ $0.4750$ คือ

ถ้าโจทย์ที่ถามให้มาว่าค่า $z$ เท่าไหร่ ได้พื้นที่เท่าไหร่ เราก็จะสามารถนำไปใช้ได้เลย แต่ถ้าเป็นในโรงเรียนทั่วไปจะไม่ได้ให้ค่ามาแต่จะให้เปิดหาค่าจากตาราง ซึ่งพี่จะนำส่วนหนึ่งของตารางมาให้ดู

จากตารางการอ่านค่า $z$ ให้อ่านจากหลักแรกและแถวแรก ซึ่งหลักแรกจะแทนจำนวนและทศนิยมตำแหน่งที่หนึ่ง และแถวบนสุดจะแทนทศนิยมตำแหน่งที่สอง เช่นถ้าต้องการค่า $z=1.12$ ให้ดูแถวที่ หลักแรกเป็นเลข $1.1$ แล้วไปดูหลักที่ แถวแรกเป็น $0.02$ ตามรูป

จะได้ว่าพื้นที่ที่ได้คือ $.3686$ ดังรูป

แต่ถ้าเราต้องการหาว่าค่า $z$ เท่าไหร่ที่จะทำให้ได้พื้นที่เท่ากับ $.4049$ เราก็ต้องต้องไปหาเลข $.4049$ จากส่วนที่มีตัวเลขระบุพื้นที่ให้เจอก่อน เมื่อเจอแล้วเราก็จะอ่านค่า $z$ ได้ ดังนี้

ดังนั้นได้ค่า $z=1.31$

การแปลความหมายของพื้นที่ใต้กราฟ

เราจะนำเรื่องพื้นที่ใต้กราฟมาช่วยในการทำโจทย์สถิติที่เกี่ยวกับจำนวนข้อมูล และเงื่อนไขต่าง ๆ โดยที่รู้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน สิ่งที่เราจะต้องเข้าใจเกี่ยวกับพื้นที่ใต้กราฟ คือ

ถ้าเราหาพื้นที่ใต้กราฟได้ $0.2$ หมายความว่าภายใต้เงื่อนไขที่เราต้องการจะมีจำนวนข้อมูลอยู่ $20\%$ ของข้อมูลทั้งหมด

ค่ามาตรฐานกับการทำโจทย์สถิติ

เมื่อเรามีข้อมูลหนึ่งชุด มีค่าของข้อมูลที่เราสนใจหนึ่งค่า จะรู้ได้ยังไงว่าถ้าเปลี่ยนเป็นค่ามาตรฐานแล้วจะได้เท่าไหร่