เทคนิคการตรวจสอบสัจนิรันดร์ด้วยประพจน์ที่สมมูลกัน
เทคนิคนี้จะใช้กับประพจน์ใหญ่ที่มีประพจน์ย่อยเชื่อมกันอยู่ด้วย "ถ้า...แล้ว..." หรือเชื่อมกันด้วย "ก็ต่อเมื่อ"
เช่น
∼(p∧q)↔(∼p∨∼q)
มีประพจน์ย่อยคือ ∼(p∧q) และ (∼p∨∼q) เชื่อมกันด้วย ↔
∼(p→q)→(∼p↔q)
มีประพจน์ย่อยคือ ∼(p→q) และ (∼p↔q) เชื่อมกันด้วย →
∼p∧[p∨∼(r∧s)]→(∼r∨s)
มีประพจน์ย่อยคือ ∼p∧[p∨∼(r∧s)] และ (∼r∨s) เชื่อมกันด้วย →
หลักการคือ ถ้าประพจน์ย่อยทั้งสองข้างสมมูลกัน จะได้ว่าประพจน์ใหญ่เป็นสัจนิรันดร์
นั่นคือ ถ้า A≡B แล้ว A→B และ A↔B เป็นสัจนิรันดร์
เหตุผลที่เป็นอย่างนี้คือการเชื่อมด้วย → และ ↔ นั้น ถ้าประพจน์ทั้งสองข้างของเครื่องหมายมีค่าความจริงเหมือนกัน จะได้ค่าความจริงของประพจน์ใหญ่เป็น T
ซึ่งประพจน์สองประพจน์สมมูลกัน หมายความว่าประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงตรงกันทุกกรณี เมื่อนำมาเชื่อมด้วย → หรือ ↔ แล้ว ย่อมเป็น T เสมอ จึงเป็นสัจนิรันดร์
เทคนิคนี้มักใช้กับการเชื่อมด้วย ก็ต่อเมื่อ เป็นส่วนใหญ่ เพราะถ้าใช้การสมมุติให้เป็นเท็จแล้ว
เราอาจต้องทำ 2 กรณี คือ T↔F และ F↔T ซึ่งเสียเวลา
ตัวอย่างการใช้เทคนิคการตรวจสอบสัจนิรันดร์ด้วยประพจน์ที่สมมูลกัน
∼(p∧q)↔(∼p∨∼q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
เราจะตรวจสอบว่าประพจน์ ∼(p∧q) และ (∼p∨∼q) สมมูลกันหรือไม่ ถ้าสมมูลกันประพจน์ใหญ่ก็จะเป็นสัจนิรันดร์
ซึ่งจะเห็นว่า ถ้าเราใช้รูปแบบการสมมูลโดยการกระจาย ∼ เข้าในวงเล็บ จะได้
∼(p∧q)≡∼p∨∼q
ทั้งสองประพจน์สมมูลกัน
∼(p∧q)↔(∼p∨∼q) เป็นสัจนิรันดร์
[p→(q∨r)]↔[(p→q)∨r] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
เราจะตรวจสอบว่าประพจน์ p→(q∨r) และ (p→q)∨r สมมูลกันหรือไม่
จัดรูป p→(q∨r)
p→(q∨r)≡∼p∨(q∨r)≡∼p∨q∨r
จัดรูป (p→q)∨r
(p→q)∨r≡(∼p∨q)∨r≡∼p∨q∨r
จะเห็นว่าทั้ง 2 ประพจน์ จัดรูปแล้วกลายเป็นประพจน์เดียวกัน จึงสมมูลกัน
[p→(q∨r)]↔[(p→q)∨r] เป็นสัจนิรันดร์