อนุกรมเทเลสโคปคืออะไร
อนุกรมเทเลสโคป (Telescoping Series) คือ อนุกรมที่สามารถแยกแต่ละพจน์ออกเป็นสองพจน์ย่อยลบกัน และเมื่อหาผลรวมสามารถตัดกันจนเหลือเพียงพจน์แรกและพจน์สุดท้ายเท่านั้น เช่น
n∑k=11k(k+1)=n∑k=1(1k−1k+1)=(11−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1n+1)=(11−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1n+1)=11−1n+1=1−1n+1
ซึ่งจะเห็นว่าเมื่อตัดกันแล้ว แล้วจะเหลือจำนวนพจน์แค่สองพจน์ คือ 1 กับ −1n+1
วิธีการสังเกตอนุกรมเทเลสโคป
วิธีการสังเกตว่าอนุกรมใดเป็นอนุกรมเทเลสโคปหรือไม่ ให้ดูที่ตัวส่วนของเทอมที่ n ว่า เมื่อแยกตัวประกอบเรียบร้อยแล้ว แทนค่า n+1 ลงในเทอมที่น้อยกว่าแล้วได้อีกเทอมหรือไม่ เช่น ∑1(3n−1)(3n+2) เมื่อแทนค่า n+1 ลงใน 3n−1 จะได้
3(n+1)−1=3n+3−1=3n+2
ซึ่งตรงกับอีกเทอมพอดี ก็พอจะเดาได้ว่าอนุกรม ∑1(3n−1)(3n+2) เป็นอนุกรมเทเลสโคป
วิธีการแยกเศษส่วนย่อย
การแยกพจน์ของอนุกรมเทเลสโคปเป็น 2 เทอมเรียกว่าการแยกเศษส่วนย่อย (Partial Fraction) มีขั้นตอนการคำนวณแบบง่ายๆ ดังนี้
ตัวอย่างวิธีการแยกเศษส่วนย่อยของ 1n2+n ไปเป็น 1n−1n+1
- แยกตัวประกอบของตัวส่วน 1n2+n=1n(n+1)
- เขียนผลลัพธ์ของเศษส่วนย่อยที่ต้องการ เช่น กรณีนี้ผลลัพธ์ที่เราต้องการ คือ 1n(n+1)=An+Bn+1โดยที่ A,B เป็นจำนวนที่เราต้องการหา
- จากนั้นคูณตลอดทั้งสมการด้วยตัวส่วน ตัดส่วนพจน์ที่ซ้ำกันออกไป n(n+1)⋅1n(n+1)=n(n+1)⋅An+n(n+1)⋅Bn+1n(n+1)⋅1n(n+1)=n(n+1)⋅An+n(n+1)⋅Bn+11=A(n+1)+Bn
- แทนค่า n ด้วยตัวเลขใดๆ ก็ได้เพื่อหาค่า A กับ B เช่น แทนค่า n=0 จะได้ 1=A(0+1)+B(0)1=A(1)+0A=1แทนค่า n=−1 จะได้ 1=A(−1+1)+B(−1)1=A(0)−BB=−1
- แทนค่า A,B ที่ได้ลงไปในผลลัพธ์ที่เคยเขียนไว้จะได้เศษส่วนย่อยที่เราต้องการ 1n(n+1)=An+Bn+1=(1)n+(−1)n+1=1n−1n+1
วิธีการหาผลบวกย่อยของอนุกรมเทเลสโคป
หลังจากแยกเศษส่วนย่อยของ n∑k=11k2+k=n∑k=1(1k−1k+1) เสร็จแล้ว ให้เขียนลิสต์แต่ละพจน์ตั้งแต่พจน์ที่ 1 ไปสัก 3−4 พจน์ จนพอจะเห็นภาพว่าจะมีการตัดกันแบบไหน ที่สำคัญอย่าลืมเขียนพจน์สุดท้ายและอาจจะเขียนพจน์ก่อนพจน์สุดท้ายลงไปด้วย เช่น
n∑k=1(1k−1k+1)=(a1)+(a2)+(a3)+⋯+(an−1)+(an)=(1(1)−1(1)+1)+(1(2)−1(2)+1)+(1(3)−1(3)+1)+⋯+(1(n−1)−1(n−1)+1)+(1(n)−1(n)+1)=(11−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1−1n)+(1n−1n+1)
จากนั้นค่อยๆ ตัดเศษส่วนที่เหมือนกัน แต่เครื่องหมายตรงข้ามกันออกไปทีละคู่ สังเกตรูปแบบการตัดกันไปจนถึง ⋯ และพจน์ที่ n−1 หรือ พจน์ที่ n ให้ตัดกันในรูปแบบเดียวกันกับด้านหน้า
=(11−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1−1n)+(1n−1n+1)=(11−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1−1n)+(1n−1n+1)=(11−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1−1n)+(1n−1n+1)=(11−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1−1n)+(1n−1n+1)=11−1n+1=1−1n+1
ดังนั้น
n∑k=11k2+k=1−1n+1
สูตรลัดคำนวณผลบวกย่อยอนุกรมเทเลสโคปที่อยู่ในรูป ∑1an⋅an+1 เมื่อ {an} เป็นลำดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ d
n∑k=11an⋅an+1=1d(1a1−1an+1)
ตัวอย่างการหาผลรวมของอนุกรมเทเลสโคป
ให้หาผลรวมของอนุกรม 20∑n=11n2+n
จาก
20∑n=11n2+n=20∑n=1(1n−1n+1)
แทนค่า n=1,2,3,⋯,19,20 ลงในสูตรด้านขวา แล้วคำนวณผลรวมของอนุกรมนี้
20∑n=1(1n−1n+1)=(a1)+(a2)+(a3)+⋯+(a19)+(a20)=(1(1)−1(1)+1)+(1(2)−1(2)+1)+(1(3)−1(3)+1)+⋯+(1(19)−1(19)+1)+(1(20)−1(20)+1)=(11−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(119−120)+(120−121)=(11−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(119−120)+(120−121)=11−121=2121−121=21−121=2021
ดังนั้นข้อนี้มีค่าเท่ากับ 2021
ตัวอย่างการหาผลรวมอนันต์ของอนุกรมเทเลสโคป
จงหาผลรวมอนันต์ของอนุกรม ∞∑n=119n2+3n−2
แยกตัวประกอบที่ตัวส่วน แล้วแยกเศษส่วนย่อย
∞∑n=119n2+3n−2=∞∑n=11(3n−1)(3n+2)=∞∑n=1(133n−1−133n+2)=13∞∑n=1(13n−1−13n+2)
เมื่อแทนค่า n ด้วย n+1 ใน 3n−1 จะได้ 3(n+1)−1=3n+2 ดังนั้น อนุกรม ∞∑n=119n2+3n−2 เป็นอนุกรมเทเลสโคป
จากนั้นคำนวณรูปทั่วไปของผลบวกย่อย Sn
Sn=n∑k=119k2+3k−2=13n∑k=1(13k−1−13k+2)=13[(12−15)+(15−18)+(18−111)+⋯+(13n−1−13n+2)]=13[(12−15)+(15−18)+(18−111)+⋯+(13n−1−13n+2)]=13[12−13n+2]
นำ Sn ที่ได้ไป take ลิมิต ก็จะได้ผลบวกอนันต์ S∞
S∞=∞∑n=1(13n−1−13n+2)=limn→∞Sn=limn→∞13[12−13n+2]=13limn→∞[12−13n+2]=13[(limn→∞12)−(limn→∞13n+2)]=13[(12)−(limn→∞1n3+2n)]=13[12−(0)3+(0)]=13[12−0]=13⋅12=16
ผลรวมอนันต์เท่ากับ 16