Processing math: 100%
อนุกรมเทเลสโคป
(telescoping series)

อนุกรมเทเลสโคปคืออะไร

อนุกรมเทเลสโคป (Telescoping Series) คือ อนุกรมที่สามารถแยกแต่ละพจน์ออกเป็นสองพจน์ย่อยลบกัน และเมื่อหาผลรวมสามารถตัดกันจนเหลือเพียงพจน์แรกและพจน์สุดท้ายเท่านั้น เช่น

nk=11k(k+1)=nk=1(1k1k+1)=(1112)+(1213)+(1314)++(1n1n+1)=(1112)+(1213)+(1314)++(1n1n+1)=111n+1=11n+1

ซึ่งจะเห็นว่าเมื่อตัดกันแล้ว แล้วจะเหลือจำนวนพจน์แค่สองพจน์ คือ 1 กับ 1n+1

วิธีการสังเกตอนุกรมเทเลสโคป

วิธีการสังเกตว่าอนุกรมใดเป็นอนุกรมเทเลสโคปหรือไม่ ให้ดูที่ตัวส่วนของเทอมที่ n ว่า เมื่อแยกตัวประกอบเรียบร้อยแล้ว  แทนค่า n+1 ลงในเทอมที่น้อยกว่าแล้วได้อีกเทอมหรือไม่ เช่น 1(3n1)(3n+2)  เมื่อแทนค่า n+1 ลงใน 3n1 จะได้

3(n+1)1=3n+31=3n+2

ซึ่งตรงกับอีกเทอมพอดี  ก็พอจะเดาได้ว่าอนุกรม 1(3n1)(3n+2) เป็นอนุกรมเทเลสโคป

วิธีการแยกเศษส่วนย่อย

การแยกพจน์ของอนุกรมเทเลสโคปเป็น 2 เทอมเรียกว่าการแยกเศษส่วนย่อย (Partial Fraction) มีขั้นตอนการคำนวณแบบง่ายๆ ดังนี้

ตัวอย่างวิธีการแยกเศษส่วนย่อยของ 1n2+n ไปเป็น 1n1n+1

  1. แยกตัวประกอบของตัวส่วน 1n2+n=1n(n+1)
  2. เขียนผลลัพธ์ของเศษส่วนย่อยที่ต้องการ เช่น กรณีนี้ผลลัพธ์ที่เราต้องการ คือ 1n(n+1)=An+Bn+1
     โดยที่ A,B เป็นจำนวนที่เราต้องการหา
  3. จากนั้นคูณตลอดทั้งสมการด้วยตัวส่วน ตัดส่วนพจน์ที่ซ้ำกันออกไป n(n+1)1n(n+1)=n(n+1)An+n(n+1)Bn+1n(n+1)1n(n+1)=n(n+1)An+n(n+1)Bn+11=A(n+1)+Bn
  4. แทนค่า n ด้วยตัวเลขใดๆ ก็ได้เพื่อหาค่า A กับ B เช่น แทนค่า n=0 จะได้ 1=A(0+1)+B(0)1=A(1)+0A=1
    แทนค่า n=1 จะได้ 1=A(1+1)+B(1)1=A(0)BB=1
  5. แทนค่า A,B ที่ได้ลงไปในผลลัพธ์ที่เคยเขียนไว้จะได้เศษส่วนย่อยที่เราต้องการ 1n(n+1)=An+Bn+1=(1)n+(1)n+1=1n1n+1

วิธีการหาผลบวกย่อยของอนุกรมเทเลสโคป

หลังจากแยกเศษส่วนย่อยของ nk=11k2+k=nk=1(1k1k+1) เสร็จแล้ว  ให้เขียนลิสต์แต่ละพจน์ตั้งแต่พจน์ที่ 1 ไปสัก 34 พจน์ จนพอจะเห็นภาพว่าจะมีการตัดกันแบบไหน  ที่สำคัญอย่าลืมเขียนพจน์สุดท้ายและอาจจะเขียนพจน์ก่อนพจน์สุดท้ายลงไปด้วย เช่น

nk=1(1k1k+1)=(a1)+(a2)+(a3)++(an1)+(an)=(1(1)1(1)+1)+(1(2)1(2)+1)+(1(3)1(3)+1)++(1(n1)1(n1)+1)+(1(n)1(n)+1)=(1112)+(1213)+(1314)++(1n11n)+(1n1n+1)

จากนั้นค่อยๆ ตัดเศษส่วนที่เหมือนกัน แต่เครื่องหมายตรงข้ามกันออกไปทีละคู่ สังเกตรูปแบบการตัดกันไปจนถึง และพจน์ที่ n1 หรือ พจน์ที่ n ให้ตัดกันในรูปแบบเดียวกันกับด้านหน้า

=(1112)+(1213)+(1314)++(1n11n)+(1n1n+1)=(1112)+(1213)+(1314)++(1n11n)+(1n1n+1)=(1112)+(1213)+(1314)++(1n11n)+(1n1n+1)=(1112)+(1213)+(1314)++(1n11n)+(1n1n+1)=111n+1=11n+1

ดังนั้น

nk=11k2+k=11n+1

สูตรลัดคำนวณผลบวกย่อยอนุกรมเทเลสโคปที่อยู่ในรูป 1anan+1 เมื่อ {an} เป็นลำดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ d

nk=11anan+1=1d(1a11an+1)

ตัวอย่างการหาผลรวมของอนุกรมเทเลสโคป

ให้หาผลรวมของอนุกรม 20n=11n2+n

จาก

20n=11n2+n=20n=1(1n1n+1)

แทนค่า n=1,2,3,,19,20 ลงในสูตรด้านขวา แล้วคำนวณผลรวมของอนุกรมนี้

20n=1(1n1n+1)=(a1)+(a2)+(a3)++(a19)+(a20)=(1(1)1(1)+1)+(1(2)1(2)+1)+(1(3)1(3)+1)++(1(19)1(19)+1)+(1(20)1(20)+1)=(1112)+(1213)+(1314)++(119120)+(120121)=(1112)+(1213)+(1314)++(119120)+(120121)=11121=2121121=21121=2021

ดังนั้นข้อนี้มีค่าเท่ากับ 2021


 

ตัวอย่างการหาผลรวมอนันต์ของอนุกรมเทเลสโคป

จงหาผลรวมอนันต์ของอนุกรม n=119n2+3n2

แยกตัวประกอบที่ตัวส่วน แล้วแยกเศษส่วนย่อย

n=119n2+3n2=n=11(3n1)(3n+2)=n=1(133n1133n+2)=13n=1(13n113n+2)

เมื่อแทนค่า n ด้วย n+1 ใน 3n1 จะได้ 3(n+1)1=3n+2   ดังนั้น อนุกรม n=119n2+3n2 เป็นอนุกรมเทเลสโคป

จากนั้นคำนวณรูปทั่วไปของผลบวกย่อย Sn

Sn=nk=119k2+3k2=13nk=1(13k113k+2)=13[(1215)+(1518)+(18111)++(13n113n+2)]=13[(1215)+(1518)+(18111)++(13n113n+2)]=13[1213n+2]

นำ Sn ที่ได้ไป take ลิมิต ก็จะได้ผลบวกอนันต์ S

S=n=1(13n113n+2)=limnSn=limn13[1213n+2]=13limn[1213n+2]=13[(limn12)(limn13n+2)]=13[(12)(limn1n3+2n)]=13[12(0)3+(0)]=13[120]=1312=16

ผลรวมอนันต์เท่ากับ 16

คำคล้าย : อนุกรมเทเลสโคป
Under Growing
"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า
คอร์สแนะนำ
หนังสือแนะนำ
รายละเอียดการใช้งานคุกกี้

เพื่อประโยชน์และประสบการณ์ที่ดีในการใช้งานเว็บไซต์ของ บริษัท โอเพ่นดูเรียน จํากัด (“โอเพ่นดูเรียน”) โอเพ่นดูเรียนจึงใช้คุกกี้บนเว็บไซต์ของบริษัท ทั้งนี้ คุณสามารถศึกษาเพิ่มเติม เกี่ยวกับนโยบายคุกกี้ของโอเพ่นดูเรียนได้ที่ นโยบายคุกกี้ และคุณสามารถปฏิเสธคุกกี้ได้