อัตราส่วนตรีโกณมิติบนสามเหลี่ยมมุมฉาก
กำหนดรูปสามเหลี่ยม $ABC$ มี $C$ เป็นมุมฉาก ความยาวด้านตรงข้ามมุม $A, B$ และ $C$ เท่ากับ $a, b$ และ $c$ หน่วย ตามลำดับ ดังรูป
เรียกอัตราส่วนต่อไปนี้ว่า อัตราส่วนตรีโกณมิติ ดังนี้
| $\displaystyle \sin A = \frac{a}{c}$ | $\displaystyle \operatorname{cosec} A = \frac{c}{a}$ |
| $\displaystyle \cos A = \frac{b}{c}$ | $\displaystyle \sec A = \frac{c}{b}$ |
| $\displaystyle \tan A = \frac{a}{b}$ | $\displaystyle \cot A = \frac{b}{a}$ |
อัตราส่วน $\sin, \cos$ และ $\tan$ เรามีวิธีท่องจำเพื่อความง่ายคือ
$\displaystyle \sin = \frac{\text{ข้าม}}{\text{ฉาก}} \;\;\;\;\;\;$ $\displaystyle \cos = \frac{\text{ชิด}}{\text{ฉาก}} \;\;\;\;\;\;$ $\displaystyle \tan = \frac{\text{ข้าม}}{\text{ชิด}}$
เมื่อ "ข้าม" หมายถึงด้านตรงข้ามมุม "ชิด" หมายถึงด้านประชิดมุม และ "ฉาก" หมายถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก
อัตราส่วน $\operatorname{cosec}, \sec$ และ $\cot$ ก็มีความสัมพันธ์กับ $\sin, \cos$ และ $\tan$ คือ
$\displaystyle \operatorname{cosec} = \frac{1}{\sin} \;\;\;\;\;\;$ $\displaystyle \sec = \frac{1}{\cos} \;\;\;\;\;\;$ $\displaystyle \cot = \frac{1}{\tan}$
อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมที่ต้องจำ
| อัตราส่วน | $30^o$ | $45^o$ | $60^o$ |
| $\sin$ | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $\cos$ | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\displaystyle \frac{1}{2}$ |
| $\tan$ | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ |
ตัวอย่างการใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติหาความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
จากรูป จงหาความยาวด้าน $BC$
จะเห็นว่า เราทราบมุม $A = 60^o$
ต้องการหาความยาวด้าน $BC$ ซึ่งเป็นด้านตรงข้ามมุม $A$ และเราทราบความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
ดังนั้นเราจึงเลือกใช้อัตราส่วน $\sin A$
\begin{eqnarray*}
\sin A &=& \frac{BC}{AB}\\
\sin 60^o &=& \frac{BC}{10}\\
\frac{\sqrt{3}}{2} &=& \frac{BC}{10}\\
5 \sqrt{3} &=& BC
\end{eqnarray*}
ด้าน $BC$ ยาว $5 \sqrt{3}$ หน่วย