จาก $\displaystyle s=4t^3-2t^2+3t-1$

(1)  ความเร็วของวัตถุขณะเวลา $t$ ใดๆ

$$\begin{eqnarray*} v(t) &=& s'(t)\\ &=& \frac{d}{dt}(4t^3-2t^2+3t-1)\\ &=& 12t^2-4t+3 \end{eqnarray*}$$

 

(2)  ความเร่งของวัตถุขณะเวลา $t$ ใดๆ

$$\begin{eqnarray*} a(t) &=& v'(t)\\ &=& \frac{d}{dt}(12t^2-4t+3)\\ &=& 24t-4 \end{eqnarray*}$$

 

(3)  ความเร่งของวัตถุขณะเวลาผ่านไป $2$ วินาที

$$\begin{eqnarray*} a(t) &=& 24t-4\\ a(2) &=& 24(2)-4\\ &=& 44 \end{eqnarray*}$$

(1)  ความเร็วเฉลี่ยในช่วงวินาทีที่ $2$ ถึงวินาทีที่ $3$

เนื่องจากความเร็วคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทาง ดังนั้น การหาความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาใดๆ จึงใช้วิธีเดียวกับการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย โดยในขั้นแรกต้องหาความเร็วขณะเวลา $t$ ใดๆ ก่อน

$$\begin{eqnarray*} v(t) &=& s'(t)\\ &=& \frac{d}{dt}(128t-16t^2)\\ &=& 128-32t \end{eqnarray*}$$

ความเร็วเฉลี่ยในช่วงวินาทีที่ $2$ ถึง $3$ คือ

$$\begin{eqnarray*} \frac{v(3)-v(2)}{3-2} &=& \frac{[128-32(3)]-[128-32(2)]}{1}\\ &=& 128-96-128+64\\ &=& -32 \end{eqnarray*}$$

 

(2)  ระยะทางที่ก้อนหินเคลื่อนที่ได้หลังจากโยนไปแล้ว $5$ วินาที

ในข้อนี้ถามระยะทางขณะ $t=5$ แสดงว่าเราเพียงแค่แทนค่าใน $s(t)$ เท่านั้น

$$\begin{eqnarray*} s(5) &=& 128(5)-16(5)^2\\ &=& 640-400\\ &=& 240 \end{eqnarray*}$$

 

(3)  ความเร็วในการเคลื่อนที่ของก้อนหินขณะวินาทีที่ $4$

จาก $v(t)=128-32t$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} v(4) &=& 128-32(4)\\ &=& 0 \end{eqnarray*}$$

 

(4)  ความเร่งของก้อนหินขณะเวลา $t$ ใดๆ

จาก $v(t)=128-32t$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} a(t) &=& v'(t)\\ &=& \frac{d}{dt}(128-32t)\\ &=& -32 \end{eqnarray*}$$

 

(5)  ความเร่งของก้อนหินขณะเวลาผ่านไป $2$ วินาที

เนื่องจากความเร่งขณะเวลา $t$ ใดๆ เป็นค่าคงที่เท่ากับ $-32$ เมตร/$\text{วินาที}^2$ จะได้ $a(2)=-32$ เช่นกัน

(1)  ความเร็วของลูกบอล ณ เวลา $2$ วินาที

จาก $s=96t-16t^2$

$$\begin{eqnarray*} v(t) &=& s'(t)\\ &=& \frac{d}{dt}(96t-16t^2)\\ &=& 96-32t \end{eqnarray*}$$

ความเร็วของลูกบอลขณะเวลา $t$ ใดๆ เท่ากับ $96-32t$ เมตร/วินาที จะได้

$v(2)=96-32(2)=32$ เมตร/วินาที

 

(2)  ความเร็วของลูกบอล ณ เวลา $4$ วินาที

จาก $v(t)=96-32t$ จะได้

$v(4)=96-32(4)=-32$ เมตร/วินาที

 

(3)  ระยะทางที่ลูกบอลขึ้นไปได้สูงสุด

จาก $v=96-32t$ ให้ $v=0$

$$\begin{eqnarray*} 0 &=& 96-32t\\ 32t &=& 96\\ t &=& 3 \end{eqnarray*}$$

นั่นคือ ขณะเวลา $t=3$ วินาที ลูกบอลจะขึ้นไปสูงที่สุด ดังนั้น

$s(3)=96(3)-16(3)^2=288-144=144$ เมตร