หาผลบวกย่อยของอนุกรมนี้ก่อน

$$\begin{eqnarray*} S_{n} & = & a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}\\  & = & 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\\  & = & \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}{1-\frac{1}{2}}\\  & = & \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}{\frac{1}{2}}\\  & = & \left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right]\times\frac{2}{1}\\  & = & 2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$$

* ข้อนี้ใช้สูตรผลรวมอนุกรมเรขาคณิต $S_n = \frac{a_1 - a_1r^n}{1-r}$

ดังนั้นผลบวกย่อยของอนุกรมนี้ คือ $S_n=2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$

เพื่อทดสอบว่าอนุกรมนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก เราคำนวณลิมิตของ $S_n$

$$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}S_{n} & = & \lim_{n\rightarrow\infty}\left(2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right)\\  & = & \lim_{n\rightarrow\infty}2-\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\\  & = & \left(2\right)-\left(0\right)\\  & = & 2 \end{eqnarray*}$$

คำนวณผลบวกย่อย $S_n$ โดยใช้สูตร $\displaystyle\sum_{i=1}^ni=\frac{n}{2}(n+1)$ ก่อน

$$\begin{eqnarray*} S_{n} & = & 1+2+3+\cdots+n\\  & = & \sum_{i=1}^{n}i\\  & = & \frac{n\left(n+1\right)}{2} \end{eqnarray*}$$

นำผลบวกย่อยมาคำนวณลิมิต

$$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}S_{n} & = & \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\left(n+1\right)}{2}\\  & = & \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{2}+n}{2}\\  & = & \infty \end{eqnarray*}$$