ในการพิสูจน์สูตรผลรวมของอนุกรมเรขาคณิต มีขั้นตอนที่สามารถนำมาใช้ช่วยในการคำนวณผลรวมของอนุกรมผสมได้ ใครยังไม่เห็นวิธีการพิสูจน์สูตรผลรวมอนุกรมเรขาคณิตลองไปดูกันก่อนครับ สำหรับใครเคยเห็นมาแล้วก็ข้ามไปดูการใช้เทคนิคการพิสูจน์ผลรวมอนุกรมเรขาคณิตกับอนุกรมผสมได้เลยครับ
การพิสูจน์ผลรวมอนุกรมเรขาคณิต
สมมุติให้ an=a1rn−1 เป็นพจน์ที่ n ของอนุกรมเลขคณิต 30∑n=1an ในการหาผลรวมอนุกรมเราคูณตลอดด้วยอัตราส่วนร่วม r เพื่อสร้างสมการใหม่
ให้ S แทนผลรวม 30 พจน์นี้ จะได้
S=a1+a2+a3+⋯+a29+a30S=a1+a1r+a1r2+⋯+a1r28+a1r29rS=a1r+a1r2+⋯+a1r28+a1r29+a1r30
นำสมการก่อนและหลังการคูณด้วยอัตราส่วนร่วมมาลบกัน
S−rS=a1−a1r30(1−r)S=a1−a1r30S=a1−a1r301−r
การใช้เทคนิคการพิสูจน์ผมรวมอนุกรมเรขาคณิตกับอนุกรมผสม
อนุกรมที่สามารถใช้เทคนิคนี้ได้เรียกว่าอนุกรมผสมซึ่งมีพจน์ทั่วไปอยู่ในรูปผลบวกของ ลำดับเลขคณิตลำดับเรขาคณิต หรือ ลำดับพหุนามลำดับเรขาคณิต เช่น
ตัวอย่างการใช้เทคนิคการพิสูจน์ผลรวมอนุกรมเรขาคณิตมาใช้กับอนุกรมในรูป ลำดับเลขคณิตลำดับเรขาคณิต
จงหาผลบวกอนันต์ 13+232+333+434+⋯+n3n+⋯
วิธีการใช้เทคนิคนี้ ก็ทำแบบเดียวกับการพิสูจน์อนุกรมเรขาคณิต คือ
- สร้างสมการใหม่โดยคูณตลอดด้วยอัตราส่วนร่วมของส่วนที่เป็นลำดับเรขาคณิต
- นำสมาการเก่าลบกับสมการใหม่
สมมุติให้อนุกรมที่โจทย์ถามเท่ากับ S และสร้างสมการใหม่โดยการคูณด้วยอัตราส่วนร่วม คือ r=13
S=13+232+333+434+⋯13S=+132+233+334+⋯S−13S=13+132+133+⋯(1−13)S=13+132+133+⋯23S=13+132+133+⋯
ซึ่งจะเห็นว่าผลลัพธ์ด้านขวาที่ได้จะเป็นอนุกรมเรขาคณิตไปแล้ว ดังนั้นเมื่อหาผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตก็จะได้คำตอบ
23S=131−1323S=1333−1323S=132323S=13×32S=13×32×32=34
ดังนั้น 13+232+333+434+⋯+n3n+⋯=34
การใช้เทคนิคนี้มากกว่าหนึ่งครั้ง
ในกรณีที่อนุกรมมีพจน์ทั่วไปอยู่ในรูปผลบวกของ ลำดับพหุนามลำดับเรขาคณิต โดยที่พหุนามมีดีกรีมากกว่าหนึ่งเราจำเป็นต้องใช้เทคนิคนี้ซ้ำหลายครั้ง เช่น
ตัวอย่างการใช้เทคนิคการพิสูจน์อนุกรมเรขาคณิตมากกว่าหนึ่งครั้งกับผลรวมอนุกรมในรูป ลำดับพหุนามลำดับเรขาคณิต
จงหาผลบวกอนันต์ 23+632+1233+2034+⋯+n2+n3n+⋯
คูณตลอดด้วย 13 แล้วจับลบกับสมการเดิม
S=23+632+1233+2034+⋯13S=232+633+1234+2035+⋯S−13S=23+432+633+834+⋯23S=2(13+232+333+434+⋯)
ซึ่งจะเห็นว่าเมื่อจัดรูปแล้วก็จะได้อนุกรมผสมอีกครั้ง ถ้าหากเรายังไม่เคยทำโจทย์ข้อก่อนหน้า เราก็ต้องคูณด้วย 13 อีกครั้ง แต่เนื่องจากเราคำนวณผลรวม 13+232+333+⋯=34 มาแล้ว เราจึงแทนค่า 34 ลงไปได้เลย
23S=2(34)S=2(34)×32=94
ผลบวกอนันต์ 23+632+1233+2034+⋯+n2+n3n+⋯=94