Processing math: 100%
เทคนิคการพิสูจน์ผลรวมอนุกรมเรขาคณิต, การพิสูจน์ผลรวมอนุกรมเรขาคณิต
(geometric series proof technique)

ในการพิสูจน์สูตรผลรวมของอนุกรมเรขาคณิต มีขั้นตอนที่สามารถนำมาใช้ช่วยในการคำนวณผลรวมของอนุกรมผสมได้  ใครยังไม่เห็นวิธีการพิสูจน์สูตรผลรวมอนุกรมเรขาคณิตลองไปดูกันก่อนครับ  สำหรับใครเคยเห็นมาแล้วก็ข้ามไปดูการใช้เทคนิคการพิสูจน์ผลรวมอนุกรมเรขาคณิตกับอนุกรมผสมได้เลยครับ

การพิสูจน์ผลรวมอนุกรมเรขาคณิต

สมมุติให้ an=a1rn1 เป็นพจน์ที่ n ของอนุกรมเลขคณิต 30n=1an ในการหาผลรวมอนุกรมเราคูณตลอดด้วยอัตราส่วนร่วม r เพื่อสร้างสมการใหม่

ให้ S แทนผลรวม 30 พจน์นี้ จะได้

S=a1+a2+a3++a29+a30S=a1+a1r+a1r2++a1r28+a1r29rS=a1r+a1r2++a1r28+a1r29+a1r30

นำสมการก่อนและหลังการคูณด้วยอัตราส่วนร่วมมาลบกัน

SrS=a1a1r30(1r)S=a1a1r30S=a1a1r301r

การใช้เทคนิคการพิสูจน์ผมรวมอนุกรมเรขาคณิตกับอนุกรมผสม

อนุกรมที่สามารถใช้เทคนิคนี้ได้เรียกว่าอนุกรมผสมซึ่งมีพจน์ทั่วไปอยู่ในรูปผลบวกของ ลำดับเลขคณิตลำดับเรขาคณิต หรือ ลำดับพหุนามลำดับเรขาคณิต เช่น

ตัวอย่างการใช้เทคนิคการพิสูจน์ผลรวมอนุกรมเรขาคณิตมาใช้กับอนุกรมในรูป ลำดับเลขคณิตลำดับเรขาคณิต

จงหาผลบวกอนันต์ 13+232+333+434++n3n+

วิธีการใช้เทคนิคนี้ ก็ทำแบบเดียวกับการพิสูจน์อนุกรมเรขาคณิต คือ 

 

  1. สร้างสมการใหม่โดยคูณตลอดด้วยอัตราส่วนร่วมของส่วนที่เป็นลำดับเรขาคณิต
  2. นำสมาการเก่าลบกับสมการใหม่

สมมุติให้อนุกรมที่โจทย์ถามเท่ากับ S และสร้างสมการใหม่โดยการคูณด้วยอัตราส่วนร่วม คือ r=13

S=13+232+333+434+13S=+132+233+334+S13S=13+132+133+(113)S=13+132+133+23S=13+132+133+

ซึ่งจะเห็นว่าผลลัพธ์ด้านขวาที่ได้จะเป็นอนุกรมเรขาคณิตไปแล้ว  ดังนั้นเมื่อหาผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตก็จะได้คำตอบ

23S=1311323S=13331323S=132323S=13×32S=13×32×32=34

ดังนั้น 13+232+333+434++n3n+=34

การใช้เทคนิคนี้มากกว่าหนึ่งครั้ง

ในกรณีที่อนุกรมมีพจน์ทั่วไปอยู่ในรูปผลบวกของ ลำดับพหุนามลำดับเรขาคณิต โดยที่พหุนามมีดีกรีมากกว่าหนึ่งเราจำเป็นต้องใช้เทคนิคนี้ซ้ำหลายครั้ง เช่น

ตัวอย่างการใช้เทคนิคการพิสูจน์อนุกรมเรขาคณิตมากกว่าหนึ่งครั้งกับผลรวมอนุกรมในรูป  ลำดับพหุนามลำดับเรขาคณิต

จงหาผลบวกอนันต์ 23+632+1233+2034++n2+n3n+

คูณตลอดด้วย 13 แล้วจับลบกับสมการเดิม

S=23+632+1233+2034+13S=232+633+1234+2035+S13S=23+432+633+834+23S=2(13+232+333+434+)

ซึ่งจะเห็นว่าเมื่อจัดรูปแล้วก็จะได้อนุกรมผสมอีกครั้ง  ถ้าหากเรายังไม่เคยทำโจทย์ข้อก่อนหน้า เราก็ต้องคูณด้วย 13 อีกครั้ง แต่เนื่องจากเราคำนวณผลรวม 13+232+333+=34 มาแล้ว เราจึงแทนค่า 34 ลงไปได้เลย

23S=2(34)S=2(34)×32=94

ผลบวกอนันต์ 23+632+1233+2034++n2+n3n+=94

คำคล้าย : เทคนิคการพิสูจน์ผลรวมอนุกรมเรขาคณิต, การพิสูจน์ผลรวมอนุกรมเรขาคณิต Geometric Series Proof Technique
Under Growing
"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า
คอร์สแนะนำ
หนังสือแนะนำ
รายละเอียดการใช้งานคุกกี้

เพื่อประโยชน์และประสบการณ์ที่ดีในการใช้งานเว็บไซต์ของ บริษัท โอเพ่นดูเรียน จํากัด (“โอเพ่นดูเรียน”) โอเพ่นดูเรียนจึงใช้คุกกี้บนเว็บไซต์ของบริษัท ทั้งนี้ คุณสามารถศึกษาเพิ่มเติม เกี่ยวกับนโยบายคุกกี้ของโอเพ่นดูเรียนได้ที่ นโยบายคุกกี้ และคุณสามารถปฏิเสธคุกกี้ได้