ในการพิสูจน์สูตรผลรวมของอนุกรมเรขาคณิต มีขั้นตอนที่สามารถนำมาใช้ช่วยในการคำนวณผลรวมของอนุกรมผสมได้ ใครยังไม่เห็นวิธีการพิสูจน์สูตรผลรวมอนุกรมเรขาคณิตลองไปดูกันก่อนครับ สำหรับใครเคยเห็นมาแล้วก็ข้ามไปดูการใช้เทคนิคการพิสูจน์ผลรวมอนุกรมเรขาคณิตกับอนุกรมผสมได้เลยครับ
การพิสูจน์ผลรวมอนุกรมเรขาคณิต
สมมุติให้ $a_n = a_1r^{n-1}$ เป็นพจน์ที่ $n$ ของอนุกรมเลขคณิต $\displaystyle\sum_{n=1}^{30}a_n$ ในการหาผลรวมอนุกรมเราคูณตลอดด้วยอัตราส่วนร่วม $r$ เพื่อสร้างสมการใหม่
ให้ $S$ แทนผลรวม $30$ พจน์นี้ จะได้
$$\begin{array}{rclllllll}
S & = & a_{1} & +a_{2} & +a_{3} & +\cdots & +a_{29} & +a_{30}\\
S & = & a_{1} & +a_{1}r & +a_{1}r^{2} & +\cdots & +a_{1}r^{28} & +a_{1}r^{29}\\
rS & = & & a_{1}r & +a_{1}r^{2} & +\cdots & +a_{1}r^{28} & +a_{1}r^{29} & +a_{1}r^{30}
\end{array}$$
นำสมการก่อนและหลังการคูณด้วยอัตราส่วนร่วมมาลบกัน
\begin{eqnarray*}
S-rS & = & a_{1}-a_{1}r^{30}\\
\left(1-r\right)S & = & a_{1}-a_{1}r^{30}\\
S & = & \frac{a_{1}-a_{1}r^{30}}{1-r}
\end{eqnarray*}
การใช้เทคนิคการพิสูจน์ผมรวมอนุกรมเรขาคณิตกับอนุกรมผสม
อนุกรมที่สามารถใช้เทคนิคนี้ได้เรียกว่าอนุกรมผสมซึ่งมีพจน์ทั่วไปอยู่ในรูปผลบวกของ $\frac{\text{ลำดับเลขคณิต}}{\text{ลำดับเรขาคณิต}}$ หรือ $\frac{\text{ลำดับพหุนาม}}{\text{ลำดับเรขาคณิต}}$ เช่น
ตัวอย่างการใช้เทคนิคการพิสูจน์ผลรวมอนุกรมเรขาคณิตมาใช้กับอนุกรมในรูป $\frac{\text{ลำดับเลขคณิต}}{\text{ลำดับเรขาคณิต}}$
จงหาผลบวกอนันต์ $\frac{1}{3}+\frac{2}{3^{2}}+\frac{3}{3^{3}}+\frac{4}{3^{4}}+\cdots+\frac{n}{3^{n}}+\cdots$
วิธีการใช้เทคนิคนี้ ก็ทำแบบเดียวกับการพิสูจน์อนุกรมเรขาคณิต คือ
- สร้างสมการใหม่โดยคูณตลอดด้วยอัตราส่วนร่วมของส่วนที่เป็นลำดับเรขาคณิต
- นำสมาการเก่าลบกับสมการใหม่
สมมุติให้อนุกรมที่โจทย์ถามเท่ากับ $S$ และสร้างสมการใหม่โดยการคูณด้วยอัตราส่วนร่วม คือ $r=\frac13$
\begin{eqnarray*}
S & = & \frac{1}{3}+\frac{2}{3^{2}}+\frac{3}{3^{3}}+\frac{4}{3^{4}}+\cdots\\
\frac{1}{3}S & = & \quad+\frac{1}{3^{2}}+\frac{2}{3^{3}}+\frac{3}{3^{4}}+\cdots\\
S-\frac{1}{3}S & = & \frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\cdots\\
\left(1-\frac{1}{3}\right)S & = & \frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\cdots\\
\frac{2}{3}S & = & \frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\cdots
\end{eqnarray*}
ซึ่งจะเห็นว่าผลลัพธ์ด้านขวาที่ได้จะเป็นอนุกรมเรขาคณิตไปแล้ว ดังนั้นเมื่อหาผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตก็จะได้คำตอบ
\begin{eqnarray*}
\frac{2}{3}S & = & \frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}\\
\frac{2}{3}S & = & \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{3}-\frac{1}{3}}\\
\frac{2}{3}S & = & \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}\\
\frac{2}{3}S & = & \frac{1}{3}\times\frac{3}{2}\\
S & = & \require{cancel}\frac{1}{\cancel{3}}\times\frac{\cancel{3}}{2}\times\frac{3}{2}\\
& = & \frac{3}{4}
\end{eqnarray*}
ดังนั้น $\frac{1}{3}+\frac{2}{3^{2}}+\frac{3}{3^{3}}+\frac{4}{3^{4}}+\cdots+\frac{n}{3^{n}}+\cdots=\frac34$
การใช้เทคนิคนี้มากกว่าหนึ่งครั้ง
ในกรณีที่อนุกรมมีพจน์ทั่วไปอยู่ในรูปผลบวกของ $\frac{\text{ลำดับพหุนาม}}{\text{ลำดับเรขาคณิต}}$ โดยที่พหุนามมีดีกรีมากกว่าหนึ่งเราจำเป็นต้องใช้เทคนิคนี้ซ้ำหลายครั้ง เช่น
ตัวอย่างการใช้เทคนิคการพิสูจน์อนุกรมเรขาคณิตมากกว่าหนึ่งครั้งกับผลรวมอนุกรมในรูป $\frac{\text{ลำดับพหุนาม}}{\text{ลำดับเรขาคณิต}}$
จงหาผลบวกอนันต์ $\frac{2}{3}+\frac{6}{3^{2}}+\frac{12}{3^{3}}+\frac{20}{3^{4}}+\cdots+\frac{n^{2}+n}{3^{n}}+\cdots$
คูณตลอดด้วย $\frac13$ แล้วจับลบกับสมการเดิม
\begin{eqnarray*}
S & = & \frac{2}{3}+\frac{6}{3^{2}}+\frac{12}{3^{3}}+\frac{20}{3^{4}}+\cdots\\
\frac{1}{3}S & = & \qquad \frac{2}{3^{2}}+\frac{6}{3^{3}}+\frac{12}{3^{4}}+\frac{20}{3^{5}}+\cdots\\
S-\frac{1}{3}S & = & \frac{2}{3}+\frac{4}{3^{2}}+\frac{6}{3^{3}}+\frac{8}{3^{4}}+\cdots\\
\frac{2}{3}S & = & 2\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3^{2}}+\frac{3}{3^{3}}+\frac{4}{3^{4}}+\cdots\right)
\end{eqnarray*}
ซึ่งจะเห็นว่าเมื่อจัดรูปแล้วก็จะได้อนุกรมผสมอีกครั้ง ถ้าหากเรายังไม่เคยทำโจทย์ข้อก่อนหน้า เราก็ต้องคูณด้วย $\frac13$ อีกครั้ง แต่เนื่องจากเราคำนวณผลรวม $\frac13+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\cdots=\frac34$ มาแล้ว เราจึงแทนค่า $\frac34$ ลงไปได้เลย
\begin{eqnarray*}
\frac{2}{3}S & = & 2\left(\frac{3}{4}\right)\\
S & = & \cancel{2}\left(\frac{3}{4}\right)\times\frac{3}{\cancel{2}}\\
& = & \frac{9}{4}
\end{eqnarray*}
ผลบวกอนันต์ $\frac{2}{3}+\frac{6}{3^{2}}+\frac{12}{3^{3}}+\frac{20}{3^{4}}+\cdots+\frac{n^{2}+n}{3^{n}}+\cdots=\frac94$