หาผลบวกย่อยโดยใช้สูตรอนุกรมเรขาคณิต $S_n=\frac{a_1-a_1r^n}{1-r}$

$$\begin{eqnarray*} S_{n} & = & 18+6+2+\frac{2}{3}+\cdots+\frac{54}{3^{n}}\\  & = & \frac{18-18\times\left(\frac{1}{3}\right)^{n}}{1-\frac{1}{3}}\\  & = & \frac{18\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right]}{\frac{3}{3}-\frac{1}{3}}\\  & = & \frac{18\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right]}{\frac{2}{3}}\\  & = & \frac{3}{2}\times18\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right]\\  & = & 27\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right] \end{eqnarray*}$$

คำนวณลิมิตของ $S_n$

$$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}S_{n} & = & \lim_{n\rightarrow\infty}27\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right]\\  & = & 27\lim_{n\rightarrow\infty}\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right]\\  & = & 27\left[\lim_{n\rightarrow\infty}1-\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right]\\  & = & 27\left[\left(1\right)-\left(0\right)\right]\\  & = & 27 \end{eqnarray*}$$

เนื่องจากโจทย์กำหนดผลบวกย่อยมาให้แล้ว เราจึงสามารถคำนวณผลรวมอนันต์ได้เลยโดยนำ $S_n$ มาหาลิมิต

$$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} & = & \lim_{n\rightarrow\infty}S_{n}\\  & = & \lim_{n\rightarrow\infty}\left(4-\frac{n+2}{n+3}\right)\\  & = & \left(\lim_{n\rightarrow\infty}4\right)-\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n+2}{n+3}\right)\\  & = & \left(4\right)-\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{3}{n}}\right)\\  & = & 4-\left(\frac{1+\left(0\right)}{1+\left(0\right)}\right)\\  & = & 4-1\\  & = & 3 \end{eqnarray*}$$