ค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
จากหัวข้อที่แล้วเรื่องฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด พิจารณากราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้
จากกราฟ $P$ และ $Q$ เป็นจุดที่กราฟเกิดการเปลี่ยนลักษณะระหว่างฟังก์ชันเพิ่มกับฟังก์ชันลด ซึ่งเราเรียก $P$ และ $Q$ ว่าเป็น จุดวกกลับ ของกราฟ จะสังเกตเห็นว่า เส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่จุดวกกลับทั้งสองจุดมีลักษณะขนานกับแกน $x$ นั่นคือมีความชันเป็น $0$ หรืออาจกล่าวว่า $f'(a)=0$ และ $f'(b)=0$
เราเรียกค่า $a$ และ $b$ ว่า ค่าวิกฤต (critical value) ของฟังก์ชัน $f$ ซึ่งนำไปสู่บทนิยามต่อไปนี้
ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง $A$ ค่าของ $c\in A$ ซึ่งทำให้ $f'(c)=0$ เรียกว่า ค่าวิกฤต ของฟังก์ชัน $f$
สำหรับจุดวกกลับนั้น เราเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า จุดวิกฤต (critical point) เป็นจุดบนกราฟที่มีค่าของ $x$ เท่ากับค่าวิกฤต $c$ กล่าวคือ จุดวิกฤตของฟังก์ชัน $y=f(x)$ จะมีพิกัดที่ $(c,f(c))$ สรุปเป็นบทนิยามคือ
บทนิยาม
ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง $A$ และมี $c\in A$ เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน จะได้ $(c,f(c))$ เป็น จุดวิกฤต ของฟังก์ชัน
ตัวอย่างการหาค่าวิกฤตและจุดวิกฤต
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)=2x^3+3x^2-12x-7$ จงหาจุดวิกฤตของฟังก์ชันนี้
จาก $f(x)=2x^3+3x^2-12x-7$ จะได้
$f'(x)=6x^2+6x-12$
ให้ $c$ เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน จะได้ว่า $f'(c)=0$
\begin{eqnarray*}
6c^2+6c-12 &=& 0\\
c^2+c-2 &=& 0\\
(c+2)(c-1) &=& 0\\
c &=& -2,1
\end{eqnarray*}
ดังนั้น ค่าวิกฤตมีสองค่า คือ $c=-2$ และ $c=1$
$f(-2)=2(-2)^3+3(-2)^2-12(-2)-7=13$
$f(1)=2(1)^3+3(1)^2-12(1)-7=-14$
จุดวิกฤตของฟังก์ชันคือ $(-2,13)$ และ $(1,-14)$
สำหรับจุดวิกฤตของฟังก์ชัน $y=f(x)$ มี 2 ลักษณะ คือเป็นจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดของฟังก์ชันในช่วงใดช่วงหนึ่ง เราเรียก จุดสูงสุดสัมพัทธ์ และ จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ สังเกตกราฟต่อไปนี้
ให้ $a<c<b$ กราฟมีจุด $P$ เป็นจุดวิกฤต จุด $A$ เป็นจุดที่อยู่ทางซ้ายมือของ $P$ และจุด $B$ เป็นจุดที่อยู่ทางขวามือของ $P$ จากรูป ถ้า $P$ เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์แล้ว ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดทางซ้ายมือของ $P$ มีค่าเป็นบวก และความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดทางขวามือของ $P$ มีค่าติดลบ
ในทำนองเดียวกัน หากจุด $P$ เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดทางซ้ายมือของ $P$ มีค่าติดลบ และความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดทางขวามือของ $P$ มีค่าเป็นบวก
เราสามารถสรุปเป็นทฤษฎีบทในการตรวจสอบจุดวิกฤตว่ามีลักษณะเป็นอย่างไรได้ ดังนี้
ทฤษฎีบท
ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง $A$ และมี $c\in A$ เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน สำหรับทุกๆ $a,b\in A$ โดยที่ $a<c<b$
1. ถ้า $f'(a)>0$ และ $f'(b)<0$ แล้ว $f(c)$ เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์และ $(c,f(c))$ เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน
2. ถ้า $f'(a)<0$ และ $f'(b)>0$ แล้ว $f(c)$ เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์และ $(c,f(c))$ เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน
ตัวอย่างการหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์
ตัวอย่างที่ 2
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)=2x^3+3x^2-12x-7$ จงหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันนี้
จาก ตัวอย่างที่ 1 เราได้ว่าจุดวิกฤตของฟังก์ชันมี 2 จุดคือ $(-2,13)$ และ $(1,-14)$
- ตรวจสอบจุด $(-2,13)$
กำหนด $a=-3$ และ $b=-1$ ซึ่ง $a<c<b$
$f'(a)=f'(-3)=6(-3)^2+6(-3)-12=24>0$
$f'(b)=f'(-1)=6(-1)^2+6(-1)-12=-12<0$
ดังนั้น $f(-2)=13$ เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และ $(-2,13)$ เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์
- ตรวจสอบจุด $(1,-14)$
กำหนด $a=0$ และ $b=2$ ซึ่ง $a<c<b$
$f'(a)=f'(0)=6(0)^2+6(0)-12=-12<0$
$f'(b)=f'(2)=6(2)^2+6(2)-12=24>0$
ดังนั้น $f(1)=-14$ เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ และ $(1,-14)$ เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์
จุดสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันคือ $(-2,13)$ จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันคือ $(1,-14)$
ตัวอย่างที่กล่าวมาเป็นวิธีการตรวจสอบจุดสูงสุดสัมพัทธ์และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์วิธีที่ 1 ซึ่งอาจเสียเวลาเพราะต้องหาค่าของอนุพันธ์ถึง 2 จุด อีกวิธีหนึ่งที่สามารถใช้ตรวจสอบได้เช่นกันและสะดวกกว่าคือการใช้อนุพันธ์อันดับที่ 2 ตามทฤษฎีบทต่อไปนี้
ทฤษฎีบท
ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง $A$ และมี $c\in A$ เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน
1. ถ้า $f''(c)<0$ แล้ว $f(c)$ เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์และ $(c,f(c))$ เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน
2. ถ้า $f''(c)>0$ แล้ว $f(c)$ เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์และ $(c,f(c))$ เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน
สาเหตุที่ใช้อนุพันธ์อันดับที่สอง เพราะ $f'(x)$ หมายถึงความชัน และอนุพันธ์หมายถึงอัตราการเปลี่ยนแปลง ซึ่งอัตราการเปลี่ยนแปลงของความชันก็คือ $f''(x)$ หากมีค่าเป็นบวก แสดงว่าความชันของกราฟมีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ กราฟมีลักษณะโค้งขึ้น จุดวิกฤตจึงเป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ และในทางตรงกันข้าม ถ้าอัตราการเปลี่ยนแปลงของความชันมีค่าติดลบ แสดงว่าความชันของกราฟมีค่าลดลง กราฟมีลักษณะโค้งลง จุดวิกฤตจึงเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์นั่นเอง
ตัวอย่างการหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์โดยการใช้อนุพันธ์อันดับที่สอง
ตัวอย่างที่ 3
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)=2x^3+3x^2-12x-7$ จงหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันนี้โดยการใช้อนุพันธ์อันดับที่สอง
จาก ตัวอย่างที่ 1 เราได้ว่าจุดวิกฤตของฟังก์ชันมี 2 จุดคือ $(-2,13)$ และ $(1,-14)$
$f'(x)=6x^2+6x-12$
$f''(x)=12x+6$
- ตรวจสอบจุด $(-2,13)$
$f''(-2)=12(-2)+6=-18<0$
แสดงว่า $(-2,13)$ เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์
- ตรวจสอบจุด $(1,-14)$
$f''(1)=12(1)+6=18>0$
แสดงว่า $(1,-14)$ เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์
จุดสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันคือ $(-2,13)$ จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันคือ $(1,-14)$
การหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์โดยใช้อนุพันธ์อันดับที่สอง หาก $f''(c)=0$ แล้ว เราไม่สามารถสรุปได้ว่าเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ต้องกลับไปใช้อนุพันธ์อันดับที่หนึ่งในการตรวจสอบแทน
สรุปหลักการหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์
- หา $f'(x)$
- หาค่าวิกฤตโดยการกำหนด $f'(c)=0$ แล้วแก้สมการหาค่า $c$
- ตรวจสอบค่าวิกฤตที่ได้โดยการใช้อนุพันธ์อันดับที่สอง หา $f''(x)$ แล้วแทนค่า $c$ ลงไป หาก
$f''(c)>0$ แสดงว่า $f(c)$ เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
$f''(c)<0$ แสดงว่า $f(c)$ เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์
$f''(c)=0$ ไม่สามารถสรุปได้ ต้องตรวจสอบด้วยอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง
การตรวจสอบด้วยอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง คือ หาค่า $f'(a)$ และ $f'(b)$ โดยกำหนด $a,b$ เป็นเท่าไรก็ได้ที่ $a<c<b$ มักเลือกค่าที่หาได้ไม่ยาก เช่น ถ้า $c=2$ กำหนด $a=1$ และ $b=3$ หาก
$f'(a)>0$ และ $f'(b)<0$ แสดงว่า $f(c)$ เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์
$f'(a)<0$ และ $f'(b)>0$ แสดงว่า $f(c)$ เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ - เราจะได้ $f(c)$ เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน หากต้องการจุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ ให้ตอบในรูปของคู่อันดับ $(c,f(c))$
ตัวอย่างการหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์
ตัวอย่างที่ 4
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)=x^3-3x^2-24x+4$ จงหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน
จาก $f(x)=x^3-3x^2-24x+4$
จะได้ $f'(x)=3x^2-6x-24$
กำหนดให้ $c$ เป็นค่าวิกฤต หาค่าวิกฤต
\begin{eqnarray*}
3c^2-6c-24 &=& 0\\
c^2-2c-8 &=& 0\\
(c-4)(c+2) &=& 0\\
c &=& -2,4
\end{eqnarray*}
ตรวจสอบค่าวิกฤตโดยใช้อนุพันธ์อันดับที่สอง $f''(x)=6x-6$
- ตรวจสอบ $c_1=-2$
$f''(-2)=6(-2)-6=-18<0$
แสดงว่า $f(c_1)=f(-2)=(-2)^3-3(-2)^2-24(-2)+4=32$ เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์
- ตรวจสอบ $c_2=4$
$f''(4)=6(4)-6=18>0$
แสดงว่า $f(c_2)=f(4)=4^3-3(4)^2-24(4)+4=-76$ เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
จุดสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันคือ $(-2,32)$ และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันคือ $(4,-76)$
ตัวอย่างที่ 5
กำหนด $f(x)=x^2-2x+a$ ถ้า $f$ มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันเท่ากับ $-4$ แล้ว จงหา $a$
จาก $f(x)=x^2-2x+a$
จะได้ $f'(x)=2x-2$
ให้ $c$ เป็นค่าวิกฤต หาค่าวิกฤต
\begin{eqnarray*}
2c-2 &=& 0\\
c-1 &=& 0\\
c &=& 1
\end{eqnarray*}
ตรวจสอบค่าวิกฤตโดยใช้อนุพันธ์อันดับที่สอง $f''(x)=2$
จะได้ $f''(c)=f''(1)=2>0$
แสดงว่า $f(c)=f(1)=1^2-2(1)+a=-1+a$ เป็นค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน
ดังนั้น
\begin{eqnarray*}
-1+a &=& -4\\
a &=& -3
\end{eqnarray*}
$a=-3$