ลำดับคงตัว

ลำดับคงตัว คือ ลำดับที่มีค่าเท่าเดิมตลอด เช่น

$$7,7,7,7,7,7,\cdots$$

ลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต 

น้องๆ สามารถอ่านรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิตได้ที่แต่ละหัวข้อได้เลยครับ

ลำดับพหุนามดีกรีสอง

ลำดับพหุนามดีกรีสอง คือ ลำดับที่มีรูปทั่วไปเป็นพหุนามในรูป $a_n=a\cdot n^2 +b\cdot n+c$ เช่น $a_n = 2n^2 - 3n+1
$ ซึ่งมี $7$ พจน์แรกเป็น

$$0,3,10,21,36,55,78,\cdots$$ 

จะเห็นว่าผลต่างในชั้นที่สองมีค่าเท่ากันและเท่ากับ $4$ ทำให้เราทราบว่าเป็นลำดับพหุนาม  และจำนวนชั้นของผลต่างเป็นตัวบอกดีกรีของลำดับพหุนามนี้ ซึ่งในที่นี้ คือ ลำดับพหุนามที่มีดีกรีสอง นั่นคือ ลำดับนี้มีรูปทั่วไปเป็น

$$a_n = a\cdot n^2 +b\cdot n+c$$

ในที่นี้ก็คือ $a=\frac42 = 2$ ดังนั้นเราจึงสามารถทราบได้เลยว่าลำดับพหุนามนี้มีรูปทั่วไปเป็น $$a_n=2n^2+b\cdot n+c$$

ในกรณีข้างบน จะได้ว่า $a_1=0,d_1=3,d_2=4$ ดังนั้นจึงได้รูปทั่วไปเป็น

\begin{eqnarray*}
a_n &=& a_1 + (n-1)d_1 + \frac{(n-1)(n-2)}{2}\times d_2\\
&=& (0) + (n-1)(3) + \frac{(n-1)(n-2)}{2}\times (4)\\
&=& 0 + 3n - 3 + \frac{(n^2 - 3n +2)\times\require{cancel}\cancelto{2}{4}}{\cancel{2}}\\
&=& 3n-3 + (2n^2 - 6n +4)\\
&=& 2n^2 -3n + 1
\end{eqnarray*}

นอกจากการใช้สูตรนี้แล้ว กรณีที่จำสูตรไม่ได้ เราสามารถนำรูปทั่วไป $a_n = an^2 + bn+c$ มาแทนค่า $n=1,2,3$ ลงไปแล้วแก้ระบบสมการต่อไปนี้แทนก็ได้

\begin{eqnarray*}
a_1 &=& a(1)^2 + b(1) + c \qquad\cdots (1)\\
a_2 &=& a(2)^2 + b(2) + c \qquad\cdots (2)\\
a_3 &=& a(3)^2 + b(3) + c \qquad\cdots (3)
\end{eqnarray*}

หรือในข้อนี้ เมื่อแทนค่า $a_1=0,a_2=3$ และ $a_3=10$ ลงไปเราจะได้ระบบสมการเป็น

\begin{eqnarray*}
a+b+c &=& 0 \qquad \cdots(1)\\
4a+2b+c &=&  3\qquad\cdots(2)\\
9a+3b+c &=& 10\qquad\cdots(3)\\
\end{eqnarray*}

แก้ระบบสมการแล้วก็จะได้ $a=2,b=-3$ และ $c=1$ เช่นเดียวกับวิธีการใช้สูตร

ผลต่างเป็นลำดับเรขาคณิต

กรณีผลต่างชั้นแรกเป็นลำดับเรขาคณิต เช่น $$2,8,26,80,242,728, 2186,\cdots$$

มีผลต่างชั้นแรกเป็น $6,18, 54, 162, 486, 1458\cdots$ ซึ่งเป็นลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเป็น $r=3$ จะได้ว่ารูปทั่วไปของอนุกรม $2,8,26,80,242,728, 2186,\cdots$ คือ ลำดับเรขาคณิตบวกด้วยค่าคงตัว มีรูปทั่วไปเป็น 

$$a_n = a \cdot r^{n-1} +k$$

โดยที่ $a\cdot r^{n-1}$ เป็นลำดับเรขาคณิตที่มี $r=3$ และ $k$ เป็นค่าคงตัว

จากนั้นเราสามารถนำข้อมูลที่เราทราบ คือ

\begin{eqnarray*}
2 & = & a_{1}=a\cdot3^{\left(1\right)-1}+k\qquad\cdots\left(1\right)\\
8 & = & a_{2}=a\cdot3^{(2)-1}+k\qquad\cdots\left(2\right)
\end{eqnarray*}

มาแก้ระบบสมการหาค่าของ $a$ และ $k$ ซึ่งจะได้ $a=3$ และ $k=-1$

เราจึงได้รูปทั่วไปของลำดับ $2,8,26,80,242,728, 2186,\cdots$ เป็น $a_n = 3\times3^{n-1} -1=3^n - 1$

กรณีผลต่างชั้นที่สองเป็นลำดับเรขาคณิต รูปทั่วไปของลำดับก็จะอยู่ในรูป $b_n = a\cdot r^{n-1} +b\cdot n +c$ เมื่อ $a,b$ และ $c$ เป็นค่าคงตัว และหลักการในการแก้หารูปทั่วไปก็ทำคล้ายกันกับวิธีด้านบน

แยกคิดรูปทั่วไปเป็นส่วน

กรณีที่ลำดับมีความซับซ้อนมา บางครั้งการแยกคิดเป็นส่วนๆ จะช่วยได้ดี เช่น การแบ่งคิดเศษกับส่วนแยกกัน

$$\frac{1}{2}+\frac{3}{9}+\frac{5}{27}+\frac{7}{81}+\frac{9}{243}+\cdots$$

ซึ่งค่อนข้างชัดเจนว่าตัวเลขตรงเศษ $1,3,5,7,9,\cdots$ เป็นลำดับของเลขคี่ $a_n = 2n-1$

ในขณะที่ลำดับที่ตัวส่วน $3, 9, 27, 81, 243,\cdots $ เป็นลำดับเรขาคณิตมีรูปทั่วไปเป็น $b_n = 3^n$ 

นั่นคือ รูปทั่วไปของลำดับที่ให้มาตั้งแต่แรก คือ $$c_n = \dfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{2n-1}{3^n}$$